MATEMANIJA

Probni prijemni ispit MATF - 10. jun 2017.
14. zadatak

Prava koja sadrži tačku sa elipse [inlmath]2x^2+y^2=18[/inlmath] i normalna je na tangentu elipse u toj tački prolazi kroz tačku [inlmath](1,0)[/inlmath]. Zbir apscisa i ordinata svih takvih tačaka sa date elipse je
Resenje je [inlmath]-2[/inlmath]

Zaista nemam neku dobru ideju za ovaj zadatak, mada jesam uspeo da napravim sistem 5 jednačina sa 5 nepoznatih ali se zaista iskomplikuje previše, ne verujem da se ovako radi zadatak pa bih bio zahvalan na pomoći.

Dakle ja sam uzeo tu tačku dodira na elipsi i obeležio sa [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] i ubacio tu tačku u elipsu i u pravu [inlmath]y=kx+n[/inlmath]. Zatim tačku [inlmath](1,0)[/inlmath] u pravu. Onda pošto je prava normalna na tangentu elipse dobijemo još jednu i na kraju uslov dodira...
[dispmath]2x_0^2+y_0^2=18[/dispmath][dispmath]y_0=kx_0+n[/dispmath][dispmath]0=k+n[/dispmath][dispmath]y_0=\frac{-1}{k}+m[/dispmath][dispmath]9\cdot\frac{1}{k^2}+18=m^2[/dispmath]

Evo ideje, ja bih zajednicku tacku tangente i normale na elipsu oznacila sa [inlmath]M(x_0,y_0 )[/inlmath] i ubacila njene koordinate u jednacinu elipse. Zatim koeficijent normale [inlmath]p[/inlmath] bih izracunala preko date tacke [inlmath]A(1,0)[/inlmath] i [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] znaci
[dispmath]k=\frac{y_0-0}{x_0-1}[/dispmath] Zatim jednacinu tangente na sledeci nacin
[dispmath]t\colon2xx_0+yy_0=18[/dispmath] Podelis jednacinu sa [inlmath]y_0[/inlmath] i za [inlmath]k_t[/inlmath] dobijes da je [inlmath]-\frac{2x_0}{y_0}[/inlmath]
I onda preko uslova normalnosti normale i tangente dobijes jednacinu sa dve nepoznate
Na kraju imas jednacinu elipse (sa koordinatama tacke [inlmath]M[/inlmath]) i jednacinu koju si dobio malopre, resis taj sistem i trebalo bi da dobijes [inlmath]4[/inlmath] tacke

Nisam bas shvatio, kako si dobila tangentu u tom obliku?

Jednacina polare za elipsu...

Ok hvala, nisam do sad sreo tu formulu

Nema na cemu, imas jednacinu polare za svaku krivu II reda, isto kao sto imas i za kruznicu Obicno se preko te jednacine lakse i brze resavaju zadaci ovog tipa

Jesi li uspeo da resis? Ja dobijam sledece tacke [inlmath]M_1(-1,4),\;M_2(-1,-4),\;M_3(-3,0),\;M_4(3,0)[/inlmath]

Rešenje je tačno.

teconi je napisao:Ok hvala, nisam do sad sreo tu formulu

Ta formula se lako izvodi, pa evo časkom.
Neka je elipsa data jednačinom oblika [inlmath]ax^2+by^2=c[/inlmath] (kao u ovom zadatku). Diferenciramo levu i desnu stranu, dobijemo [inlmath]2ax+2byy'=0[/inlmath]. Kako je izvod u nekoj tački [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] elipse jednak koeficijentu pravca tangente [inlmath]k[/inlmath] kroz tu tačku, imamo
[dispmath]k=y'=-\frac{ax_0}{by_0}[/dispmath] Prema tome, jednačina tangente kroz tu tačku biće oblika
[dispmath]y=-\frac{ax_0}{by_0}x+n[/dispmath] Slobodan član odredimo iz uslova da tačka [inlmath](x_0,y_0)[/inlmath] pripada tangenti:
[dispmath]y_0=-\frac{ax_0}{by_0}x_0+n\quad\Longrightarrow\quad n=y_0+\frac{ax_0}{by_0}x_0[/dispmath] i odatle je jednačina tangente
[dispmath]y=-\frac{ax_0}{by_0}x+y_0+\frac{ax_0^2}{by_0}[/dispmath] Pomnožimo obe strane sa [inlmath]by_0[/inlmath],
[dispmath]by_0y=-ax_0x+by_0^2+ax_0^2\\
ax_0x+by_0y=\underbrace{by_0^2+ax_0^2}_c\\
\enclose{box}{ax_0x+by_0y=c}[/dispmath]