MATEMANIJA

Medju tackama parabole [inlmath]y=x^2+4x+7[/inlmath] tacka [inlmath]T[/inlmath] je najbliza pravoj [inlmath]y=2x-9[/inlmath]. Cemu je jednako rastojanje tacke [inlmath]T[/inlmath] od date prave?
[inlmath]T[/inlmath] je ustvari teme parabole? I dobila sam da je [inlmath]T(-2,3)[/inlmath] i kada jednacinu prave prebacim u eksplicitni oblik [inlmath]2x-y-9=0[/inlmath] i primenim formulu za rastojanje tacke od prave ne dobijam tacan rezultat treba da se dobije [inlmath]3\sqrt5[/inlmath] ja dobijam [inlmath]\frac{16}{\sqrt5}[/inlmath], [inlmath]d=\frac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}[/inlmath] dobijam
[inlmath]d=\frac{|-4-3-9|}{\sqrt{4+1}}[/inlmath] sto je [inlmath]\frac{16}{\sqrt5}[/inlmath]
Moze li neko da proveri molim vas?

Ne znam ni jedan razlog zašto bi [inlmath]T[/inlmath] bilo teme osim što je početno slovo te reči.

Ako nije kako da resim zadatak?

Tangenta u toj najbližoj tački je paralelna sa zadatom pravom.
Koeficijent pravca te tangente jednak je vrednosti prvog izvoda u toj tački.
Iz ovoga možeš naći koordinate tačke, dalje već znaš.

Kako znate da je tangenta paralelna sa tom pravom? I kako da nadjem tangentu iz parabole ovakvog oblika?

Zamisli da translatorno pomeraš pravu i približavaš je paraboli. U jednom trenutku dodirnuće parabolu u nekoj tački. Šta misliš koja je to tačka, da nije ova naša.

Ali ako ta prava dodiruje parabolu rastojanje izmedju te tacke i prave je nula onda...?

Pa normalno kada je to tangenta u toj tački koja je najbliža pravoj. Dakle tangenta u toj tački je paralelna sa zadatom pravom.

Ali ne znam kako da odredim tangentu ove parabole...

[dispmath]k=2\\
k=y'\left(x_T\right)\\
y'=2x+4\\
y'\left(x_T\right)=2x_T+4\\
2x_T+4=2\\
x_T=-1\\
y_T=y(x_T)=\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+7=4\\
T(-1,4)[/dispmath]

Sad mi je jasno hvala Vam punoooo

Drugi način bi bio da postavimo pravu paralelnu datoj pravoj, takvu da dodiruje parabolu. To znači, ta nova prava će imati isti [inlmath]k[/inlmath] kao i data prava (kako bi bila njoj paralelna), tj. njena jednačina će biti oblika [inlmath]y=2x+n[/inlmath]. Pošto ona s parabolom treba da ima tačno jednu zajedničku tačku (kako bi je dodirivala), sistem jednačina koji formiraju jednačina te prave i jednačina parabole treba da ima tačno jedno rešenje. Taj sistem glasi
[dispmath]y=x^2+4x+7\\
y=2x+n[/dispmath] i rešava se izjednačavanjem desnih strana (jer su leve jednake i iznose [inlmath]y[/inlmath]). Kako se odavde dobije kvadratna jednačina, to znači da je uslov da imamo tačno jedno rešenje taj, da diskriminanta bude jednaka nuli. Dakle, izjednačavanjem desnih strana dobijamo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tačke [inlmath]T[/inlmath]:
[dispmath]{x_T}^2+4x_T+7=2x+n\\
{x_T}^2+2x_T+7-n=0[/dispmath] Rešenje ove jednačine, kada je diskriminanta jednaka nuli, biće
[dispmath]x_T=\frac{-2}{2}=-1[/dispmath]

Nađa je napisao:i kada jednacinu prave prebacim u eksplicitni oblik [inlmath]2x-y-9=0[/inlmath]

To je implicitni oblik. Eksplicitni oblik je bio [inlmath]y=2x-9[/inlmath].