MATEMANIJA

Jednačina prave [inlmath]p[/inlmath], koja odseca tetivu elipse [inlmath]9x^2+16y^2=144[/inlmath] čije je središte tačka [inlmath]A(2,1)[/inlmath], je:
[inlmath]1)\quad16x+8y-34=0\\
2)\quad16x+9y-34=0\\
3)\quad16y+9x-34=0\\
4)\quad9y+8x-26=0\\
5)\quad8y+9x-26=0[/inlmath]

Tačno rešenje je pod [inlmath]4)[/inlmath]. Kod ovog zadatka uopšte ne mogu da zamislim sliku u glavi. Nije mi jasno da li se ta prava seče sa tetivom elipse u nekoj tački ili je nešto drugo u pitanju? I središte čega je data tačka [inlmath]A[/inlmath] - tetive ili prave čija se jednačina traži?

Ja sam pokušala ovako nešto: Zamislila sam tu neku tetivu, a da tačka [inlmath]A[/inlmath] bude središte te tetive i tačke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] koje pripadaju elipsi
[dispmath]x_A=\frac{x_B+x_C}{2}[/dispmath][dispmath]x_B+x_C=4[/dispmath][dispmath]y_A=\frac{y_B+y_C}{2}[/dispmath][dispmath]y_B+y_C=2[/dispmath][dispmath]9x_B^2+16y_B^2=144[/dispmath][dispmath]9x_C^2+16y_C^2=144[/dispmath][dispmath]9\left(x_B^2-X_C^2\right)+16\left(y_B^2-Y_C^2\right)=0[/dispmath][dispmath]9(x_B-x_C)(x_B+x_C)+16(y_B-y_C)(y_B+y_C)=0[/dispmath][dispmath]\frac{y_B-y_C}{x_B-x_C}=-\frac{9(x_B+x_C)}{16(y_B+y_C)}[/dispmath][dispmath]k=-\frac{9\cdot4}{16\cdot2}=-\frac{9}{8}[/dispmath]

Rešenje nije pod [inlmath]4[/inlmath] već pod [inlmath]5[/inlmath].

Ovo je jedan od testova u knjizi "Matematika 4+" (Krug izdavač) i rešenje ovog zadatka je [inlmath]9y+8x-26=0[/inlmath]

Dobro, ti onda pokušaj da dobiješ to rešenje koje je očigledno pogrešno.
Tvoj postupak je potpuno ispravan.

Objašnjenje iz knjige: Tetiva pripada pravi [inlmath]k(x-2)+(y-1)=0[/inlmath] za neko [inlmath]k\in\mathbb{R}[/inlmath] (prava [inlmath]y=1[/inlmath] seče elipsu u dve tačke, ali se središte odgovarajuće tetive nalazi na [inlmath]x[/inlmath]-osi, pa ova prava nije rešenje). Preseci ovakve prave sa elipsom zadovoljavaju sistem [inlmath]k(x-2)+(y-1)=0;\;9x^2+16y^2=144[/inlmath], pa [inlmath]x[/inlmath]-koordinate preseka zadovoljavaju jednačinu [inlmath]9x^2+16\bigl(1-k(x-2)\bigr)^2=144\iff\left(16k^2+9\right)x^2-32k(2k+1)x+\left(16(2k+1)^2-144\right)=0[/inlmath], a po uslovima zadatka imaju zbir [inlmath]4[/inlmath]. Po Vietovim pravilima je [inlmath]\frac{32k(2k+1)}{16k^2+9}=4\iff k=\frac{9}{8}[/inlmath], pa je jedina mogućnost prava [inlmath]\frac{9}{8}(x-2)+(y-1)=0[/inlmath] tj. [inlmath]9x+8y-26=0[/inlmath]. Sa druge strane, kako ovakva tetiva postoji, to ona mora biti upravo navedena.

Ja ne mogu da verujem..moje rešenje je tačno i oni su napisali moje rešenje u objašnjenju a napisali da treba da se zaokruži pod [inlmath]4)[/inlmath]

Pa to je rešenje pod 5.

Reci mi samo koji je to ispitni rok, da gvirnem.

2013, Farmaceutski fakultet