MATEMANIJA

1. Duzina tetive elipse [inlmath]x^2+2y^2=18[/inlmath] koja pripada simetrali prvog i treceg kvadranta koordinatnog sistema [inlmath]Oxy[/inlmath] je jednaka:
2. Jednacina kruznice ciji je centar tacka [inlmath]C(3-1)[/inlmath] koja na pravoj [inlmath]p:\:2x-5y+18=0[/inlmath] odseca tetivu duzine [inlmath]6[/inlmath] je:

Drugi zadatak.
Jednačina kružnice glasi [inlmath](x-a)^2+(y-b)=r^2[/inlmath]. Tebi su poznati [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] potrebno je još samo da nađeš [inlmath]r[/inlmath].

Udaljenost tačke [inlmath](a,b)[/inlmath] od prave [inlmath]2x-5y+18=0[/inlmath] se računa po formuli:
[dispmath]d={{|\alpha a-\beta b+\gamma|}\over{\sqrt{\alpha^2+\beta^2}}}={{|2\cdot 3+(-5)\cdot(-1)+18|}\over{\sqrt{2^2+(-5)^2}}}={{|6+5+18|}\over{\sqrt{29}}}\approx 5.39[/dispmath]
[inlmath]\alpha,\beta,\gamma[/inlmath] su u stvari koeficijenti u linearnoj jednačini. Radi jednostavnosti nazovimo ovu tačku na pravoj [inlmath]M[/inlmath].

Udaljenost centra kruga od prave predstavlja u stvari centar tetive koju odseca ta ista prava. Ako je dužina tetive [inlmath]6[/inlmath], udaljenost tačke [inlmath]M[/inlmath] od preseka kruga i prave iznosi [inlmath]3[/inlmath].
Sada primenom Pitagorine teoreme dobijamo da je [inlmath]r=\sqrt{5.39^2+3^2}=\sqrt{38}\approx 6.16442[/inlmath]
Krajnje rešenje je:
[dispmath]\enclose{box}{(x-3)^2+(y+1)^2=38}[/dispmath]
Možda ti moje rešenje nije jasno pa ti šaljem sliku kako bi trebalo da izgleda:

Evo još jednog načina na koji bi se to moglo uraditi. Osnovna ideja bi bila da odredimo koordinate presečnih tačaka kružnice i pravca u zavisnosti od [inlmath]r[/inlmath], a zatim iz uslova da je rastojanje te dve presečne tačke jednako [inlmath]6[/inlmath], odredimo koliko mora biti [inlmath]r[/inlmath].[dispmath]2x-5y+18=0\quad\Rightarrow\quad y=\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}[/dispmath][dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(y+1\right)^2=r^2[/dispmath]Rešavanjem ovog sistema nalazimo koordinate presečnih tačaka:[dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(\frac{2}{5}x+\frac{18}{5}+1\right)^2=r^2[/dispmath][dispmath]\left(x-3\right)^2+\left(\frac{2}{5}x+\frac{23}{5}\right)^2=r^2\quad /\cdot 25[/dispmath][dispmath]\left(5x-15\right)^2+\left(2x+23\right)^2=25r^2[/dispmath][dispmath]\cdots[/dispmath][dispmath]x_{1,2}=1\pm\frac{\sqrt{2900r^2+58^2-4\cdot 29\cdot 754}}{2\cdot 29}[/dispmath][dispmath]y_{1,2}=\frac{2}{5}x_{1,2}+\frac{18}{5}=4\pm\frac{\sqrt{2900r^2+58^2-4\cdot 29\cdot 754}}{5\cdot 29}[/dispmath]Dužina tetive je jednaka rastojanju presečnih tačaka:[dispmath]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}=6\quad / \left(\;\right)^2[/dispmath][dispmath]\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=36[/dispmath]Izračunamo [inlmath]\left(x_2-x_1\right)^2[/inlmath] i [inlmath]\left(y_2-y_1\right)^2[/inlmath] a zatim odredimo i njihov zbir:[dispmath]\left(x_2-x_1\right)^2=4\frac{2900r^2+58^2-4\cdot 29\cdot 754}{4\cdot 29^2}=\frac{100r^2+58\cdot 2-4\cdot 754}{29}[/dispmath][dispmath]\left(y_2-y_1\right)^2=\frac{4\left(2900r^2+58^2-4\cdot 29\cdot 754\right)}{25\cdot 29^2}=\frac{4\left(100r^2+58\cdot 2-4\cdot 754\right)}{25\cdot 29}[/dispmath][dispmath]\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\frac{100r^2+58\cdot 2-4\cdot 754}{29}\cdot\left(1+\frac{4}{25}\right)=\frac{100r^2+58\cdot 2-4\cdot 754}{29}\cdot\frac{29}{25}[/dispmath][dispmath]\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2=\frac{100r^2+58\cdot 2-4\cdot 754}{25}=36[/dispmath][dispmath]100r^2=25\cdot 36-58\cdot 2+4\cdot 754\quad / :4[/dispmath][dispmath]25r^2=25\cdot 9-29+754[/dispmath][dispmath]25r^2=25\cdot 9+725\quad / :25[/dispmath][dispmath]r^2=9+29[/dispmath][dispmath]r^2=38[/dispmath]

---

A prvi zadatak je, takoreći, trivijalan – odrediš tačke preseka elipse i date simetrale, tako što rešiš sistem od dve jednačine s dve nepoznate, pri čemu je jedna jednačina sistema jednačina elipse, a druga je jednačina simetrale prvog i trećeg kvadranta, za koju znamo da glasi [inlmath]y=x[/inlmath].


Zatim se odredi rastojanje između te dve presečne tačke, po formuli [inlmath]d=\sqrt{\left(x_2-x_1\right)^2+\left(y_2-y_1\right)^2}[/inlmath].

Dobije se da je [inlmath]x_1=y_1=-\sqrt 6[/inlmath] i [inlmath]x_2=y_2=\sqrt 6[/inlmath], a rastojanje između dve presečne tačke, tj. dužina tetive, iznosi [inlmath]d=4\sqrt 3[/inlmath].