MATEMANIJA

Da li bi neko mogao da mi pomogne oko toga kako da nadjem rastojanje izmedju pravih u [inlmath]5[/inlmath]-dimenzionom prostoru?
[dispmath]p:\:x=(8,2,5,15,-3)+t(7,-4,11,13,-5)\\
q:\:x=(7,2,-6,-5,3)+k(2,9,-10,-6,4)[/dispmath]

[dispmath]p:\qquad\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\\15\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}7\\-4\\11\\13\\-5\end{pmatrix}[/dispmath]
[dispmath]q:\qquad\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\\v\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-6\\-5\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\9\\-10\\-6\\4\end{pmatrix}[/dispmath]
[dispmath]\begin{array}{ll}x_p=8+7p\qquad & x_q=7+2k\\y_p=2-4\qquad & y_q=2+9k\\z_p=5+11t\qquad & z_q=-6-10k\\w_p=15+13t\qquad & w_q=-5-6k\\v_p=-3-5t\qquad & v_q=3+4k\end{array}[/dispmath]
Na pravi [inlmath]p[/inlmath] se nalazi tačka [inlmath]P[/inlmath] i na pravi [inlmath]q[/inlmath] se nalazi tačka [inlmath]Q[/inlmath]. Vektor [inlmath]\vec{PQ}[/inlmath] će biti najmanje rastojanje između dve prave. Pošto se tačke nalaze na pravama, njihove koordinate moraju da zadovoljavaju jednacinu prave.
[dispmath]P=\begin{pmatrix}x_p\\y_p\\z_p\\w_p\\v _p\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\2\\5\\15\\-3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}7\\-4\\11\\13\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8+7t\\2-4t\\5+11t\\15+13t\\-3-5t\end{pmatrix}[/dispmath]
[dispmath]Q=\begin{pmatrix}x_q\\y_q\\z_q\\w_q\\v_q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-6\\-5\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\9\\-10\\-6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+2k\\2+9k\\-6-10k\\-5-6k\\3-4k\end{pmatrix}[/dispmath]
Vektor [inlmath]\vec{PQ}[/inlmath] dobijamo kada "oduzmemo" ove dve tacke.
[dispmath]\vec{PQ}=Q-P=\begin{pmatrix}7+2k\\2+9k\\-6-10k\\-5-6k\\3-4k\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}8+7t\\2-4t\\5+11t\\15+13t\\-3-5t\end{pmatrix}[/dispmath]
[dispmath]\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6-4k+5t\end{pmatrix}[/dispmath]
Ako bi postojali brojevi [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] takvi da svih pet gorenavedenih izraza u matrici budu jednaki [inlmath]0[/inlmath] tj. da vektor bude jednak [inlmath]0[/inlmath], tada bi se ove dve prave sekle (proverio sam, sistem nema resenja, tj. prave se ne seku).

Vektor [inlmath]\vec{PQ}[/inlmath] je normalan na obe prave, sto znaci da da je skalarni proizvod vektora [inlmath]\vec{PQ}[/inlmath] i vektora pravca jednak [inlmath]0[/inlmath].
[dispmath]\vec{PQ}\cdot\vec{p}=0\qquad\qquad\qquad\vec{PQ}\cdot\vec{q}=0[/dispmath]
[dispmath]\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6-4k+5t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}7\\-4\\11\\13\\-5\end{pmatrix}=0\qquad\qquad\qquad\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6-4k+5t\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}2\\9\\-10\\-6\\4\end{pmatrix}=0[/dispmath]
Množenjem, sabiranjem, oduzimanjem dobijaš sistem od dve linearne jednačine.
[dispmath]-190k-380t-418=0\qquad\qquad 43k+158t+252=0[/dispmath]
Rešavanjem dobijaja se:
[dispmath]k=\frac{391}{180}\qquad\qquad t=-\frac{787}{360}[/dispmath]
Sada ubaciš ova rešenja u matricu vektora [inlmath]\vec{PQ}[/inlmath]
[dispmath]\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6-4k+5t\end{pmatrix}[/dispmath]
[dispmath]\vec{PQ}=\begin{pmatrix}\frac{6713}{360}\\ \frac{389}{36}\\-\frac{347}{40}\\-\frac{1661}{360}\\-\frac{4903}{360}\end{pmatrix}[/dispmath]
Sada samo još pronađemo euklidsku razdaljinu.
[dispmath]d(P,Q)=\left|\vec{PQ}\right|[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{x_{PQ}^2+y_{PQ}^2+z_{PQ}^2+w_{PQ}^2+v_{PQ}^2}[/dispmath]
[dispmath]=\sqrt{\left(\frac{6713}{360}\right)^2+\left(\frac{389}{36}\right)^2+\left(-\frac{347}{40}\right)^2+\left(-\frac{1661}{360}\right)^2+\left(\frac{4903}{360}\right)^2}[/dispmath]
[dispmath]\approx 27.32[/dispmath]
Ja sam dobio veoma ružan broj pa je moguće da sam negde pogrešio . Koristio sam sage za rešavanje sistema, moguće da je greška nastala kod prepisivanja brojeva. Nadam se da shvataš kako se ovo radi. Sada moram da zurim ako neko nađe grešku nek javi da je ispravimo.

Ima jedna greška u ovom delu,

ubavic je napisao:[dispmath]Q=\begin{pmatrix}x_q\\y_q\\z_q\\w_q\\v_q\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\2\\-6\\-5\\3\end{pmatrix}+k\begin{pmatrix}2\\9\\-10\\-6\\4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7+2k\\2+9k\\-6-10k\\-5-6k\\3{\color{red}-}4k\end{pmatrix}[/dispmath]

u poslednjem redu poslednje matrice treba da stoji [inlmath]3+4k[/inlmath] umesto [inlmath]3-4k[/inlmath]. Znači,
[dispmath]Q=\begin{pmatrix}7+2k\\2+9k\\-6-10k\\-5-6k\\3{\color{red}+}4k\end{pmatrix}[/dispmath]
pa je i
[dispmath]\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6{\color{red}+}4k+5t\end{pmatrix}[/dispmath]
Iz [inlmath]\vec{PQ}\cdot\vec p=0[/inlmath] i [inlmath]\vec{PQ}\cdot\vec q=0[/inlmath] dobijem sistem jednačina
[dispmath]-230k-380t-418=0\\237k+230t+252=0[/dispmath]
Međutim, dobijem još gore brojne vrednosti:
[dispmath]k=\frac{19}{1858}\quad t=-\frac{20553}{18580}[/dispmath]
iz čega bi se dobilo
[dispmath]d\left(P,Q\right)=\frac{\sqrt{8474180070}}{9290}\approx 9.91[/dispmath]
Baš bzvz rezultat... mada sam nekoliko puta proveravao i ne uspevam da nađem grešku...

Na najjednostavnijem koraku ja pogrešim.
Stefane imaš li rešenje, šta pise?

Kako dokazati da su ove dvije prave mimoilazne?

ubavic je napisao:[dispmath]\vec{PQ}=\begin{pmatrix}-1+2k-7t\\9k+4t\\-11-10k-11t\\-20-6k-13t\\6-4k+5t\end{pmatrix}[/dispmath]
Ako bi postojali brojevi [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath] takvi da svih pet gorenavedenih izraza u matrici budu jednaki [inlmath]0[/inlmath] tj. da vektor bude jednak [inlmath]0[/inlmath], tada bi se ove dve prave sekle (proverio sam, sistem nema resenja, tj. prave se ne seku).

Prave mogu da se seku ili mimoilaze (poseban slučaj je kada su paralelne). Kao što sam i napisao u prethodnom postu (vidi gornji citat), ako bi se prave sekle, tada bi sistem imao rešenje. Kako je u pitanju sistem od dve promenljive ([inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]t[/inlmath]), dovoljno je dokazati da samo tri jednačine nemaju zajedničko rešenje. Sistem možeš rešavati ručno pomoću metoda poznatih iz linearne algebre, ili ga ubaciti u neki kompjuterski program koji će to isto učiniti mnogo brže. Nadam se da sam odgovorio na pitanje

A može se pokazati da te dve prave nisu ni paralelne, jer njihovi vektori, [inlmath]\left<7,-4,11,13,-5\right>[/inlmath] i [inlmath]\left<2,9,-10,-6,4\right>[/inlmath] nisu kolinearni (komponente im nisu međusobno proporcionalne).

jesi, bice od koristi