MATEMANIJA

Zdravo svima,

Zadatak glasi: Odrediti rastojanje između ravni [inlmath]4x+3y+12z=288[/inlmath] i elipsoida [inlmath]\displaystyle x^2+\frac{y^2}{96}+z^2=1[/inlmath].

Jasno vam je da ovo nije gradivo srednjoškolske matematike. Inače, asistent na fakultetu mi je rekao da treba prvo odrediti tangentnu ravan elipsoida koja je paralelna gore napisanoj ravni.
To je sve što sam dobio od pomoći. Ako neko može da mi pomogne, puno bi mi značilo.

Zdravo.
Pa, ja mislim da je ta pomoć sasvim dovoljna da bi se zadatak rešio. Jesi li odredio tu tangentnu ravan? Ako nisi, možeš se poslužiti formulom za tangentnu ravan na elipsoid [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1[/inlmath] u tački [inlmath](x_0,y_0,z_0)[/inlmath] elipsoida, koja glasi [inlmath]\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1[/inlmath].

Kako da dobijem tačku [inlmath](x_0,y_0,z_0)[/inlmath] tj. njihove brojne vrednosti?

Dakle, jednačina zadate ravni je [inlmath]4x+3y+12z=288[/inlmath].
Prema tome, jednačina tangentne ravni koja je paralelna toj zadatoj ravni mora biti oblika [inlmath]4x+3y+12z=D[/inlmath] (gde je [inlmath]D[/inlmath] neki zasad nepoznat parametar).
Takođe znamo da jednačina tražene tangentne ravni mora biti oblika [inlmath]\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1[/inlmath] (gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] poznati parametri).
Šta ti ovo govori o međusobnom odnosu [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath]?

Misliš da važi [inlmath]\displaystyle\frac{x_0}{a^2}=4[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{y_0}{b^2}=3[/inlmath], [inlmath]\displaystyle\frac{z_0}{c^2}=12[/inlmath]?

Imaj u vidu da u jednačini ravni [inlmath]4x+3y+12z=D[/inlmath] možemo i levu i desnu stranu pomnožiti nekom realnom konstantom [inlmath]k[/inlmath] različitom od nule, a da i ta nova jednačina [inlmath]4kx+3ky+12kz=Dk[/inlmath] i dalje predstavlja istu tu ravan.
To jest, kod paralelnih ravni koeficijenti uz odgovarajuće promenljive ne moraju biti jednaki, već samo moraju biti proporcionalni.
Zato sam te i pitao u kom međusobnom odnosu stoje [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath], a ne kolika je njihova vrednost.

Puno sam razmišljao o onome što si napisao u poslednjoj poruci i došao sam do jednog rešenja, ali nisam siguran da je tačno:
Da počnem prvo od oznaka. Neka su početna ravan i elipsoid označeni sa [inlmath]f(x,y,z)=4x+3y+12z-288[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle g(x,y,z)=x^2+\frac{y^2}{96}+z^2-1[/inlmath] i neka su [inlmath]\vec n\bigl(f_x(A),f_y(A),f_z(A)\bigr)[/inlmath] i [inlmath]\vec m\bigl(g_x(B),g_y(B),g_z(B)\bigr)[/inlmath] vektori normala na ravan [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath] i elipsoid [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath] redom. Dalje važe sledeće formule
[dispmath]f_x=\frac{\partial f}{\partial x},\;f_y=\frac{\partial f}{\partial y},\;f_z=\frac{\partial f}{\partial z}[/dispmath] i
[dispmath]g_x=\frac{\partial g}{\partial x},\;g_y=\frac{\partial g}{\partial y},\;g_z=\frac{\partial g}{\partial z}.[/dispmath] Ovo su formule za parcijalne izvode funkcija [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath] i [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath]. Ovo sve do sada napisano važi i za jednačinu tangentne ravni [inlmath]\displaystyle h(x,y,z)=xx_0+\frac{yy_0}{96}+zz_0-1[/inlmath]. Nakon računanja parcijalnih izvoda za ove tri funkcije dobijamo:
[dispmath]f_x=4,\;f_y=3,\;f_z=12,[/dispmath][dispmath]g_x=2x,\;g_y=\frac{y}{48},\;g_z=2z[/dispmath] i
[dispmath]h_x=x_0,\;h_y=\frac{y_0}{96},\;h_z=z_0.[/dispmath] Zaključio sam da deljenjem parcijalnih izvoda funkcija [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath] i [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] sa parcijalnim izvodima funkcije [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath], redom, dobijamo koeficijent proporcionalnosti [inlmath]k[/inlmath]. Sledi:
[dispmath]\frac{2x}{4}=k,\;\frac{\frac{y}{48}}{3}=k,\;\frac{2z}{12}=k[/dispmath] i
[dispmath]\frac{x_0}{4}=k,\;\frac{\frac{y_0}{96}}{3}=k,\;\frac{z_0}{12}=k\tag1[/dispmath] Izjednačavanjem [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] koordinata dobijamo:
[dispmath]\frac{2x}{4}=\frac{x_0}{4}\;\Longrightarrow\;x=\frac{x_0}{2},[/dispmath][dispmath]\frac{\frac{y}{48}}{3}=\frac{\frac{y_0}{96}}{3}\;\Longrightarrow\;y=\frac{y_0}{2}[/dispmath] i
[dispmath]\frac{2z}{12}=\frac{z_0}{12}\;\Longrightarrow\;z=\frac{z_0}{2}.[/dispmath] Ubacivanjem poslednja tri izraza u [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] i ubacivanjem tri izraza iz [inlmath](1)[/inlmath] u [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] nalazimo koeficijent proporcionalnosti [inlmath]k[/inlmath]:
[dispmath]\frac{x_0^2}{2}+\frac{y_0^2}{192}+\frac{z_0^2}{2}=1[/dispmath][dispmath]\frac{(4k)^2}{2}+\frac{(288k)^2}{192}+\frac{(12k)^2}{2}=1[/dispmath][dispmath]\vdots[/dispmath][dispmath]512k^2=1[/dispmath][dispmath]k=\pm\frac{1}{16\sqrt2}.[/dispmath] Eto to je moje rešenje. Još jednom, ne sumnjam da je netačno.

I pored najbolje volje, ništa nisam razumeo šta si ovo radio.

delgreen je napisao:Zaključio sam da deljenjem parcijalnih izvoda funkcija [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath] i [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] sa parcijalnim izvodima funkcije [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath], redom, dobijamo koeficijent proporcionalnosti [inlmath]k[/inlmath].

To ima logike za funkcije [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] i [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath], ali ne uspevam da uhvatim smisao s funkcijom [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath].

delgreen je napisao:Izjednačavanjem [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath] koordinata dobijamo:
[dispmath]\frac{2x}{4}=\frac{x_0}{4}\;\Longrightarrow\;x=\frac{x_0}{2},\\
\vdots[/dispmath]

Za [inlmath]x_0[/inlmath] znamo da je to [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tačke dodira elipsoida s traženom tangentnom ravni. Ali, ne razumem šta predstavlja [inlmath]x[/inlmath]?

Ima tu još mnogo toga što mi nije jasno, ali da ne pišem sad sve. Pretpostavljam da si ovo radio prilično napamet, jel'da?

---

Ovako sam ja zamislio. Na osnovu onog što sam gore napisao,

Daniel je napisao:Prema tome, jednačina tangentne ravni koja je paralelna toj zadatoj ravni mora biti oblika [inlmath]4x+3y+12z=D[/inlmath] (gde je [inlmath]D[/inlmath] neki zasad nepoznat parametar).
Takođe znamo da jednačina tražene tangentne ravni mora biti oblika [inlmath]\displaystyle\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}+\frac{zz_0}{c^2}=1[/inlmath] (gde su [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] poznati parametri).

možemo izvući odnos [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath], budući da koeficijenti u prvoj jednačini moraju biti srazmerni odgovarajućim koeficijentima u drugoj jednačini, a taj odnos obeležimo sa [inlmath]k[/inlmath] (to je, koliko vidim, zapravo ono što si ti radio s parcijalnim izvodima funkcija [inlmath]h(x,y,z)[/inlmath] i [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath], samo što si ti to još radio i s funkcijom [inlmath]g(x,y,z)[/inlmath]):
[dispmath]\frac{x_0}{a^2}=4k,\quad\frac{y_0}{b^2}=3k,\quad\frac{z_0}{c^2}=12k[/dispmath] Poznato ti je [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]b[/inlmath] i [inlmath]c[/inlmath] (kad uvrstiš njihove vrednosti, dobićeš ono do čega si i ti u jednom međukoraku došao). E onda izraziš [inlmath]x_0[/inlmath], [inlmath]y_0[/inlmath] i [inlmath]z_0[/inlmath] preko [inlmath]k[/inlmath], zatim to uvrstiš u jednačinu elipsoida (jer tačka s koordinatama [inlmath](x_0,y_0,z_0)[/inlmath] pripada elipsoidu) i reci šta dobijaš.

Izračunao sam de je [inlmath]\displaystyle k=\pm\frac{1}{32}[/inlmath]. Dobio sam i da je [inlmath]\displaystyle(x_0,y_0,z_0)=\left(\frac{1}{8},9,\frac{3}{8}\right)[/inlmath], a tangentna ravan [inlmath]\displaystyle\frac{1}{8}x+\frac{3}{32}y+\frac{3}{8}z=1[/inlmath].

Dobro. Budući da se za [inlmath]k[/inlmath] dobijaju dva rešenja, isto tako se i za [inlmath](x_0,y_0,z_0)[/inlmath] moraju dobiti dva rešenja. Jedna od te dve tačke bila bi najbliža zadatoj ravni, a druga bi bila najudaljenija od zadate ravni. Kroz obe te tačke tangentne ravni bi bile paralelne zadatoj ravni.
Drugo rešenje bi bilo [inlmath]\displaystyle(x_0,y_0,z_0)=\left(-\frac{1}{8},-9,-\frac{3}{8}\right)[/inlmath], za koje bi se dobila ravan [inlmath]\displaystyle-\frac{1}{8}x-\frac{3}{32}y-\frac{3}{8}z=1[/inlmath].
Potrebno je odrediti, dakle, koja od te dve tačke bi bila bliža zadatoj ravni (to je ona koju tražimo), a to se lako može učiniti ako se jednačina i jedne i druge dobijene ravni pomnoži sa [inlmath]32[/inlmath], kako bismo se oslobodili razlomaka.

Ove dve ravni posle množenja sa [inlmath]32[/inlmath] postaju [inlmath]4x+3y+12z=32[/inlmath] i [inlmath]-4x-3y-12z=-32[/inlmath]. Šta dalje predlažeš da radim?

Ove dve ravni posle množenja sa [inlmath]32[/inlmath] postaju [inlmath]4x+3y+12z=32[/inlmath] i [inlmath]-4x-3y-12z=-32[/inlmath]. Šta dalje predlažeš da radim?

Da li na kraju može da se koristi formula za rastojanje tačke od ravni
[dispmath]d=\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}?[/dispmath] Ovo se odnosi na normalno rastojanje tačke [inlmath]\displaystyle A\left(\frac{1}{8},9,\frac{3}{8}\right)[/inlmath] od ravni [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath] i tačke [inlmath]\displaystyle B\left(-\frac{1}{8},-9,-\frac{3}{8}\right)[/inlmath] od ravni [inlmath]f(x,y,z)[/inlmath].

Molim te da ne dupliraš postove. Tačka 17. Pravilnika.

Ako bolje pogledaš, primetićeš da jednačine [inlmath]4x+3y+12z=32[/inlmath] i [inlmath]-4x-3y-12z=-32[/inlmath] zapravo predstavljaju jednu istu ravan, budući da se bilo koja od te dve jednačine dobije iz one druge njenim množenjem sa [inlmath](-1)[/inlmath].
Umesto toga, jednačine treba da glase [inlmath]4x+3y+12z=32[/inlmath] i [inlmath]-4x-3y-12z=32[/inlmath].
Ili, nakon množenja druge jednačine sa [inlmath](-1)[/inlmath], jednačine glase [inlmath]4x+3y+12z=32[/inlmath] i [inlmath]4x+3y+12z=-32[/inlmath].
Odmah možeš da uočiš koja od te dve ravni je bliža zadatoj ravni [inlmath]4x+3y+12z=288[/inlmath] (bez računanja, čisto logičkim razmišljanjem).
Tražena tačka biće ona koja pripada toj bližoj ravni.
Zatim možeš primeniti tu formulu za rastojanje tačke od ravni, koju si napisao. Naravno, nema potrebe da u tu formulu uvrštavaš i koordinate one najdalje tačke, jer si već konstatovao koja od dve dobijene tačke je najbliža, a koja najdalja.
U principu, možeš raditi i bez određivanja jednačina tangentnih ravni, s tim da ćeš onda morati da obe dobijene tačke (i najbližu i najdalju, jer nećeš znati koja je koja) uvrštavaš u jednačinu rastojanja tačke od ravni, pa onda biraš ono dobijeno rastojanje koje je manje. Ipak, meni se čini da je ovaj način s jednačinama ravni (čime se odmah eliminiše najdalja tačka) za nijansu brži.

Hvala puno za pomoć. Sada mi je jasno kako da pristupim rešavanju zadataka ovog tipa u analitičkoj geometriji. Čućemo se još, pozdrav.