MATEMANIJA

Navedene parabole nemaju zajednickih tacaka ako i samo ako [inlmath]a[/inlmath] pripada kom intervalu?
Jel mozete da mi pojasnite kako se radi i kada imaju zajednickih tacaka, uopsteno... Hvala u napred.
[dispmath]y=x^2-(a+3)x-4\\
y=2x^2-x+a+1[/dispmath]

Ove dve jednačine parabole predstavljaju neki sistem jednačina po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath]. Kada taj sistem jednačina ima rešenja po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], to znači da ćemo imati tačke s koordinatama [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koje će zadovoljavati i jednu i drugu jednačinu, što znači da pripadaju i jednoj i drugoj paraboli, iz čega sledi da parabole imaju zajedničke tačke. Analogno tome, kad sistem jednačina nema rešenja po [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], tada ne postoje tačke s koordinatama [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] koje zadovoljavaju i jednu i drugu jednačinu, što znači da parabole nemaju zajedničke tačke.

Prema tome:
– sistem nema rešenja [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] parabole nemaju zajedničke tačke;
– sistem ima jedno rešenje [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] parabole imaju jednu zajedničku tačku [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] dodiruju se;
– sistem ima dva rešenja [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] parabole imaju dve zajedničke tačke [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] seku se.

Od druge jednačine oduzemo prvu i dobijemo:
[dispmath]0=x^2+\left(a+2\right)x+a+5[/dispmath]
Pošto je [inlmath]y[/inlmath] kvadratna funkcija od [inlmath]x[/inlmath], jednoj vrednosti [inlmath]x[/inlmath] odgovara jedna i samo jedna vrednost [inlmath]y[/inlmath]. To znači da nam broj rešenja po [inlmath]x[/inlmath] određuje i broj uređenih parova [inlmath]\left(x,y\right)[/inlmath] koji predstavljaju rešenja sistema, a to, opet, predstavlja i broj zajedničkih tačaka ove dve parabole. Prema tome, posmatramo broj rešenja po [inlmath]x[/inlmath].
Obeležimo sa [inlmath]D[/inlmath] diskriminantu kvadratne jednačine [inlmath]x^2+\left(a+2\right)x+a+5=0[/inlmath].
Ako je [inlmath]D>0[/inlmath], postoje dva realna rešenja po [inlmath]x[/inlmath], znači, parabole imaju dve zajedničke tačke;
Ako je [inlmath]D=0[/inlmath], postoji jedno realno rešenje po [inlmath]x[/inlmath], znači, parabole imaju jednu zajedničku tačku;
Ako je [inlmath]D<0[/inlmath], ne postoje realna rešenja po [inlmath]x[/inlmath], znači, parabole nemaju zajedničke tačke.
[dispmath]D=\left(a+2\right)^2-4\left(a+5\right)\\
D=a^2+\cancel{4a}+4-\cancel{4a}-20\\
D=a^2-16[/dispmath]
[inlmath]1)[/inlmath] Uslov da parabole imaju dve zajedničke tačke:
[dispmath]D>0\\
a^2-16>0\\
a^2>16\\
\left|a\right|>4\\
a<-4\quad\lor\quad a>4[/dispmath]
[inlmath]2)[/inlmath] Uslov da parabole imaju jednu zajedničku tačku:
[dispmath]D=0\\
a^2-16=0\\
a^2=16\\
\left|a\right|=4\\
a=-4\quad\lor\quad a=4[/dispmath]
[inlmath]3)[/inlmath] Uslov da parabole nemaju zajedničke tačke:
[dispmath]D<0\\
a^2-16<0\\
a^2<16\\
\left|a\right|<4\\
-4<a<4[/dispmath]

Hvala puno, temeljno i jasno