MATEMANIJA

Zadatak:
Odredi onu točku na elipsi koja je od jednog kraja male osi najviše udaljena. Kolika je ta udaljenost.

Jasan mi je dio s formulama udaljenosti i postupak dobivanja maksimuma uz pomoć derivacije, no ne znam kako doći do uvjeta za dva različita rješenja.

U rješenjima je postavljen uvjet da je udaljenost [inlmath]d=2b[/inlmath] za [inlmath]a^2\leq2b^2[/inlmath], a [inlmath]d^2=x^2+(b+y)^2[/inlmath] za [inlmath]a^2>2b^2[/inlmath].

Jasno mi je da je udaljenost [inlmath]2b[/inlmath] kada je elipsa dovoljno izdužena po vertikali, pa se račun radi samo za drugi slučaj, ali ne znam kako doći do zaključka, odnosno do ovog uvjeta da se to baš mijenja u [inlmath]a^2=2b^2[/inlmath].

Dali bi mi mogao to netko pojasniti? Hvala

Za slučaj kada tražena tačka nije na maloj poluosi, imamo dva moguća rešenja, međusobno simetrična u odnosu na malu poluosu, s jednakim [inlmath]y[/inlmath]-koordinatama. Kako se, s promenom odnosa parametara [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath], približavamo graničnom slučaju, tako će se najudaljenije tačke krećući se po elipsi približavati jedna drugoj dok se na kraju, kad dođemo do graničnog slučaja, ne stope u jednu tačku koja se nalazi na preseku elipse i male poluose (tj. na onom drugom kraju male ose u odnosu na referentnu tačku). Prema tome, u tom graničnom slučaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tražene tačke biće nula. Znači, u rešenje prvog slučaja (kada su tražene tačke van male poluose) uvrstimo [inlmath]x=0[/inlmath], čime dobijamo uslov za granični slučaj, odakle odredimo odnos [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].