MATEMANIJA

Prijemni ispit ETF – 24. jun 2019.
13. zadatak

Pozdrav, ovo mi je prvi put da koristim ovaj forum, nadam se da ću savladati način korišćenja i ubuduće biti aktivniji
Siguran sam da je prelak zadatak, samo što nisam imao prilike u školi nešto detaljno da obradim parabolu ove godine, a ovako nemam neku samointuiciju kako bih legitimno odradio zadatak.

Jednačina kružnice čiji je centar na [inlmath]x[/inlmath]-osi i koja sa parabolom [inlmath]y^2=12x[/inlmath] u tački [inlmath]A(3,6)[/inlmath] ima zajedničku tangentu jeste:
[inlmath](A)\;(x-3)^2+y^2=9\quad[/inlmath] [inlmath](B)\;(x-6)^2+y^2=36\quad[/inlmath] [inlmath](C)\;(x-9)^2+y^2=81\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{box}{(D)}\;(x-9)^2+y^2=72\quad[/inlmath] [inlmath](E)\;(x-6)^2+y^2=72[/inlmath]

Koji bi bio legitiman pristup rešavanju ovoga, umesto da se ubace vrednosti tačke u ponuđene jednačine?

Pozdrav, dobro došao. U ovom konkretnom zadatku definitivno najbrže rešenje (a i sasvim legitimno, pogotovo kad je svaki sekund bitan, kao na prijemnom) jeste to što kažeš, uvrštavanje koordinata tačke [inlmath]A[/inlmath] u svaku od ponuđenih jednačina kružnice, pri čemu će jedino jednačina pod [inlmath]D)[/inlmath] biti zadovoljena, ostale jednačine neće biti zadovoljene. Tako da nema dileme koji odgovor treba zaokružiti.

Međutim, da se kojim slučajem desilo da uvrštavanjem koordinata budu zadovoljene dve ili više ponuđenih jednačina (npr. da smo imali i [inlmath](x-6)^2+y^2=45[/inlmath] kao ponuđenu jednačinu, koja bi uvrštavanjem koordinata takođe bila zadovoljena), e tada bi trebalo proveriti za koju od tih jednačina ćemo imati tačku dodira parabole i kružnice (tj. zajedničku tangentu – ono što nama treba), a ne tačku preseka. To radimo tako što odredimo izvod parabole u tački [inlmath]A[/inlmath], za koji se dobije da je jednak jedinici, odakle sledi da i izvod kružnice u tački [inlmath]A[/inlmath] mora biti jednak jedinici. Za neki opšti oblik jednačine kružnice čiji je centar na [inlmath]x[/inlmath]-osi, [inlmath](x-p)^2+y^2=R^2[/inlmath], dobilo bi se da je izvod u tački [inlmath]A[/inlmath] jednak jedinici za [inlmath]2(3-p)^2=R^2[/inlmath]. Za jednačinu pod [inlmath]D)[/inlmath], za koju je [inlmath]p=9[/inlmath] i [inlmath]R^2=72[/inlmath], uvrštavanjem u prethodni uslov dobijamo [inlmath]72=72[/inlmath], tako da bi to bila tačka zajedničke tangente, dok bismo za ovu pretpostavljenu jednačinu, [inlmath](x-6)^2+y^2=45[/inlmath], za koju bi bilo [inlmath]p=6[/inlmath] i [inlmath]R^2=45[/inlmath], dobili [inlmath]18=45[/inlmath], tako da za nju uslov zajedničke tangente ne bi bio ispunjen.