14. zadatak
Neka je [inlmath]A[/inlmath] ortogonalna projekcija tačke [inlmath]B(16,-1)[/inlmath] na pravu [inlmath]y-5x+3=0[/inlmath]. Proizvod rastojanja tačke [inlmath]A[/inlmath] od žiža elipse [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{29};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;\sqrt{377};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;13;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]
Najpre ćemo odrediti poluose elipse pomoću formule:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] Podelićemo [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] sa [inlmath]225[/inlmath]:
[dispmath]\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=\frac{225}{225}\\
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/dispmath] Vidimo da je [inlmath]a^2=25[/inlmath] i [inlmath]b^2=9[/inlmath], pa su onda ose elipse:
[dispmath]a=\sqrt{25}\\
b=\sqrt9\\
a=5\\
b=3[/dispmath] Sada ćemo uz pomoć formule za ekscentricitet naći žiže elipse:
[dispmath]e^2=a^2-b^2\\
e^2=25-9\\
e^2=16\\
e=\sqrt{16}\\
e=4[/dispmath] Odavde su žiže:
[dispmath]F_1(4,0),\;F_2(-4,0)[/dispmath] Možemo u koordinatnom sistemu ucrtati date podatke i naći tačku [inlmath]A[/inlmath].
Sada ćemo naći rastojanja [inlmath]AF_1[/inlmath] i [inlmath]AF_2[/inlmath] i pomnožiti ih. Tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath]A(1,2)[/inlmath].
[dispmath]AF_1=\sqrt{3^2+2^2}\\
AF_1=\sqrt{9+4}\\
AF_1=\sqrt{13}[/dispmath][dispmath]AF_2=\sqrt{5^2+2^2}\\
AF_2=\sqrt{25+4}\\
AF_2=\sqrt{29}[/dispmath] Na kraju je proizvod:
[dispmath]AF_1\cdot AF_2=\sqrt{13}\cdot\sqrt{29}\\
\enclose{box}{AF_1\cdot AF_2=\sqrt{377}}[/dispmath]