Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Subota, 06. Jul 2019, 11:57

Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
14. zadatak


Neka je [inlmath]A[/inlmath] ortogonalna projekcija tačke [inlmath]B(16,-1)[/inlmath] na pravu [inlmath]y-5x+3=0[/inlmath]. Proizvod rastojanja tačke [inlmath]A[/inlmath] od žiža elipse [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{29};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;\sqrt{377};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;13;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]



Najpre ćemo odrediti poluose elipse pomoću formule:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] Podelićemo [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] sa [inlmath]225[/inlmath]:
[dispmath]\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=\frac{225}{225}\\
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/dispmath] Vidimo da je [inlmath]a^2=25[/inlmath] i [inlmath]b^2=9[/inlmath], pa su onda ose elipse:
[dispmath]a=\sqrt{25}\\
b=\sqrt9\\
a=5\\
b=3[/dispmath] Sada ćemo uz pomoć formule za ekscentricitet naći žiže elipse:
[dispmath]e^2=a^2-b^2\\
e^2=25-9\\
e^2=16\\
e=\sqrt{16}\\
e=4[/dispmath] Odavde su žiže:
[dispmath]F_1(4,0),\;F_2(-4,0)[/dispmath] Možemo u koordinatnom sistemu ucrtati date podatke i naći tačku [inlmath]A[/inlmath].

elipsa.png
elipsa.png (14.51 KiB) Pogledano 1241 puta

Sada ćemo naći rastojanja [inlmath]AF_1[/inlmath] i [inlmath]AF_2[/inlmath] i pomnožiti ih. Tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath]A(1,2)[/inlmath].
[dispmath]AF_1=\sqrt{3^2+2^2}\\
AF_1=\sqrt{9+4}\\
AF_1=\sqrt{13}[/dispmath][dispmath]AF_2=\sqrt{5^2+2^2}\\
AF_2=\sqrt{25+4}\\
AF_2=\sqrt{29}[/dispmath] Na kraju je proizvod:
[dispmath]AF_1\cdot AF_2=\sqrt{13}\cdot\sqrt{29}\\
\enclose{box}{AF_1\cdot AF_2=\sqrt{377}}[/dispmath]
Poslednji put menjao Jovan111 dana Ponedeljak, 08. Jul 2019, 11:41, izmenjena samo jedanput
Razlog: Premeštanje slike uz zadatak sa eksternog linka u prilog
“Life is a flower of which love is the honey.” — Victor Hugo
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 10 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

Postod Daniel » Nedelja, 07. Jul 2019, 16:52

To je to, uz par napomena:

Stefan Boricic je napisao:Vidimo da je [inlmath]a^2=25[/inlmath] i [inlmath]b^2=9[/inlmath], pa su onda ose elipse:
[dispmath]a=\sqrt{25}\\
b=\sqrt9\\
a=5\\
b=3[/dispmath]

Ovaj deo bih izostavio. Na prijemnom je svaki sekund bitan, i nema potrebe računati ono što nije potrebno. Našli smo kvadrate poluosa, i to je to, koordinate žiža se upravo i dobijaju preko kvadrata poluosa. Zato nema potrebe računati same poluose.

Stefan Boricic je napisao:Tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath]A(1,2)[/inlmath].

Jeste, ali do toga ne treba doći ucrtavanjem na slici (čini mi se da si tako radio), već računanjem. Nađe se jednačina prave koja je normalna na pravu [inlmath]y-5x+3=0[/inlmath] i koja sadrži tačku [inlmath]B[/inlmath], i zatim se [inlmath]A[/inlmath] nađe kao presek te dve prave rešavanjem sistema njihovih jednačina.
Sliku je svakako poželjno nacrtati (ukoliko vreme dozvoljava), ali ne da bi se sa nje određivale koordinate, već da bi se stekla vizuelna predstava o problemu.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9088
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5015 puta
Pohvaljen: 4854 puta

Re: Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

Postod Stefan Boricic » Nedelja, 07. Jul 2019, 18:43

Jesam računao, ali mi lepše izgleda. Šala na stranu.
“Life is a flower of which love is the honey.” — Victor Hugo
 
Postovi: 37
Zahvalio se: 12 puta
Pohvaljen: 10 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 3 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Utorak, 28. Jun 2022, 21:33 • Sva vremena su u UTC + 1 sat [ DST ]
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs