Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

PostPoslato: Subota, 06. Jul 2019, 10:57
od Stefan Boricic
Prijemni ispit FON – 25. jun 2019.
14. zadatak


Neka je [inlmath]A[/inlmath] ortogonalna projekcija tačke [inlmath]B(16,-1)[/inlmath] na pravu [inlmath]y-5x+3=0[/inlmath]. Proizvod rastojanja tačke [inlmath]A[/inlmath] od žiža elipse [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] iznosi:
[inlmath]A)\;4\sqrt2;\quad[/inlmath] [inlmath]B)\;\sqrt{29};\quad[/inlmath] [inlmath]C)\;10;\quad[/inlmath] [inlmath]\enclose{circle}{D)}\;\sqrt{377};\quad[/inlmath] [inlmath]E)\;13;\qquad[/inlmath] [inlmath]N)\;\text{Ne znam.}[/inlmath]



Najpre ćemo odrediti poluose elipse pomoću formule:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] Podelićemo [inlmath]9x^2+25y^2=225[/inlmath] sa [inlmath]225[/inlmath]:
[dispmath]\frac{9x^2}{225}+\frac{25y^2}{225}=\frac{225}{225}\\
\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1[/dispmath] Vidimo da je [inlmath]a^2=25[/inlmath] i [inlmath]b^2=9[/inlmath], pa su onda ose elipse:
[dispmath]a=\sqrt{25}\\
b=\sqrt9\\
a=5\\
b=3[/dispmath] Sada ćemo uz pomoć formule za ekscentricitet naći žiže elipse:
[dispmath]e^2=a^2-b^2\\
e^2=25-9\\
e^2=16\\
e=\sqrt{16}\\
e=4[/dispmath] Odavde su žiže:
[dispmath]F_1(4,0),\;F_2(-4,0)[/dispmath] Možemo u koordinatnom sistemu ucrtati date podatke i naći tačku [inlmath]A[/inlmath].

elipsa.png
elipsa.png (14.51 KiB) Pogledano 1667 puta

Sada ćemo naći rastojanja [inlmath]AF_1[/inlmath] i [inlmath]AF_2[/inlmath] i pomnožiti ih. Tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath]A(1,2)[/inlmath].
[dispmath]AF_1=\sqrt{3^2+2^2}\\
AF_1=\sqrt{9+4}\\
AF_1=\sqrt{13}[/dispmath][dispmath]AF_2=\sqrt{5^2+2^2}\\
AF_2=\sqrt{25+4}\\
AF_2=\sqrt{29}[/dispmath] Na kraju je proizvod:
[dispmath]AF_1\cdot AF_2=\sqrt{13}\cdot\sqrt{29}\\
\enclose{box}{AF_1\cdot AF_2=\sqrt{377}}[/dispmath]

Re: Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 07. Jul 2019, 15:52
od Daniel
To je to, uz par napomena:

Stefan Boricic je napisao:Vidimo da je [inlmath]a^2=25[/inlmath] i [inlmath]b^2=9[/inlmath], pa su onda ose elipse:
[dispmath]a=\sqrt{25}\\
b=\sqrt9\\
a=5\\
b=3[/dispmath]

Ovaj deo bih izostavio. Na prijemnom je svaki sekund bitan, i nema potrebe računati ono što nije potrebno. Našli smo kvadrate poluosa, i to je to, koordinate žiža se upravo i dobijaju preko kvadrata poluosa. Zato nema potrebe računati same poluose.

Stefan Boricic je napisao:Tačka [inlmath]A[/inlmath] ima koordinate [inlmath]A(1,2)[/inlmath].

Jeste, ali do toga ne treba doći ucrtavanjem na slici (čini mi se da si tako radio), već računanjem. Nađe se jednačina prave koja je normalna na pravu [inlmath]y-5x+3=0[/inlmath] i koja sadrži tačku [inlmath]B[/inlmath], i zatim se [inlmath]A[/inlmath] nađe kao presek te dve prave rešavanjem sistema njihovih jednačina.
Sliku je svakako poželjno nacrtati (ukoliko vreme dozvoljava), ali ne da bi se sa nje određivale koordinate, već da bi se stekla vizuelna predstava o problemu.

Re: Proizvod rastojanja tačke A od žiža elipse – prijemni FON 2019.

PostPoslato: Nedelja, 07. Jul 2019, 17:43
od Stefan Boricic
Jesam računao, ali mi lepše izgleda. Šala na stranu.