MATEMANIJA

Odrediti jednacinu ravni koja sadrzi pravu:
[dispmath]x=4t-2,\quad y=t+2,\quad z=-2t-2[/dispmath] i cije je rastojanje od tacke [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] jednako [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath].
Iz jednacine prave mogu naci i tacku koja pripada ravni ali mi nije jasno kako dobiti koordinate vektora normale jer kada tu tacku ubacim u formulu za rastojanje u brojiocu i imeniocu dobijam tri nepoznate.

Jeste, uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] u formulu za rastojanje dobije se jednačina s tri nepoznate. Druga jednačina s tri nepoznate dobije se kad iskoristiš uslov da tražena ravan sadrži pravu zadatu parametarski. Dve jednačine s tri nepoznate dovoljne su ti da bi odredio jednačinu ravni, jer ti za jednačinu ravni nije potrebno da znaš tačne vrednosti koeficijenata, već ti je dovoljno samo da znaš u kom međusobnom odnosu stoje koeficijenti (budući da se jednačina ravni uvek može pomnožiti/podeliti nekom nenultom konstantom, čime se menjaju vrednosti koeficijenata, ali ne i njihov međusobni odnos).

Da, samo mi nije jasno sta da radim ili kako da se otarasim koeficijenata koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. U ovom slucaju kada ubacim tacku koja pripada pravoj u jednacinu ravni dobijam:
[dispmath]Ax+2A+Bx-2B+Cx+2C=0[/dispmath] Da li se nuliraju ili?

A iz jednacine rastojanja dobijam jednacinu:
[dispmath]3A+2B+C+D=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/dispmath] I sta radim sada sa ove dvije jednacine?

bogdan13 je napisao:kako da se otarasim koeficijenata koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. U ovom slucaju kada ubacim tacku koja pripada pravoj u jednacinu ravni dobijam:
[dispmath]Ax+2A+Bx-2B+Cx+2C=0[/dispmath] Da li se nuliraju ili?

Ne, ubacivanjem koordinata tačke koja pripada pravoj (a samim tim i ravni) postižeš to da koeficijent [inlmath]D[/inlmath] izraziš preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].

bogdan13 je napisao:A iz jednacine rastojanja dobijam jednacinu:
[dispmath]3A+2B+C+D=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/dispmath] I sta radim sada sa ove dvije jednacine?

Nemaš još uvek dve jednačine, imaš zasad samo ovu jednu jednačinu s tri nepoznate (s tri, a ne s četiri, jer si prethodno [inlmath]D[/inlmath] izrazio preko [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] – kô što gore napisah).
(I, levi deo jednačine treba da je unutar apsolutnih vrednosti, jer taj deo može biti i negativan, za razliku od desne strane koja, zbog korena, ne može biti negativna.)

A da bi dobio drugu jednačinu s tri nepoznate, potrebno je da uradiš ovo što sam ti već napisao,

Daniel je napisao:Druga jednačina s tri nepoznate dobije se kad iskoristiš uslov da tražena ravan sadrži pravu zadatu parametarski.

ali imam utisak da si taj deo pri čitanju prevideo.

Nijesam, nego sam mislio da ako sadrzi pravu, da samim tim sadrzi i njenu tacku [inlmath]M(-2,2,-2)[/inlmath]. I tu tacku sam ubacio u jednacinu ravni koju sam ti prvu poslao u odgovoru. Da li postoji jos neki uslov ako je sadrzi?

Dakle, još jednom. Iz podatka da ravan sadrži tačku [inlmath]P(-2,2,-2)[/inlmath] izraziš koeficijent [inlmath]D[/inlmath] preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Ali na osnovu tog podatka ne dobijaš nijednu jednačinu sistema.

• Jednu jednačinu sistema dobijaš iz podatka da se tačka [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] nalazi na rastojanju [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath] od tražene ravni. OK, to si uradio, dobio si [inlmath]|3A+2B+C+D|=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/inlmath] (naravno, ostalo je da [inlmath]D[/inlmath] izraziš preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]);
• Drugu jednačinu sistema dobijaš iz podatka da tražena ravan sadrži pravu (dakle, ne tačku te prave nego baš pravu) koja ti je zadata parametarski. Da li znaš kako taj podatak da iskoristiš?

Da ubacim u jednacinu ravni [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]? Ako je to, kako da se otarasim parametra [inlmath]t[/inlmath] iz jedn ravni?

Ne. Ako neka ravan sadrži neku pravu, šta nam to onda govori o međusobnom položaju vektora normale te ravni i vektora te prave? I koliko onda iznosi njihov skalarni proizvod?

Jednak je nuli? I poslednje pitanje imas li savjet kako rijesiti taj sistem od tri nepoznate?

Da, jednak je nuli, jer su ta dva vektora međusobno normalna.

Iz jedne jednačine izrazi jedan od ta tri koeficijenta preko druga dva, a zatim to uvrsti u drugu jednačinu. Time ćeš dobiti jednačinu u kojoj figurišu dva koeficijenta, na osnovu čega možeš naći njihov odnos.
Ako se ne snađeš, napiši ovde te dve jednačine koje si dobio pa ćemo ti reći konkretnije šta dalje.