MATEMANIJA

Odrediti jednacinu ravni koja sadrzi pravu:
[dispmath]x=4t-2,\quad y=t+2,\quad z=-2t-2[/dispmath] i cije je rastojanje od tacke [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] jednako [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath].
Iz jednacine prave mogu naci i tacku koja pripada ravni ali mi nije jasno kako dobiti koordinate vektora normale jer kada tu tacku ubacim u formulu za rastojanje u brojiocu i imeniocu dobijam tri nepoznate.

Jeste, uvrštavanjem koordinata tačke [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] u formulu za rastojanje dobije se jednačina s tri nepoznate. Druga jednačina s tri nepoznate dobije se kad iskoristiš uslov da tražena ravan sadrži pravu zadatu parametarski. Dve jednačine s tri nepoznate dovoljne su ti da bi odredio jednačinu ravni, jer ti za jednačinu ravni nije potrebno da znaš tačne vrednosti koeficijenata, već ti je dovoljno samo da znaš u kom međusobnom odnosu stoje koeficijenti (budući da se jednačina ravni uvek može pomnožiti/podeliti nekom nenultom konstantom, čime se menjaju vrednosti koeficijenata, ali ne i njihov međusobni odnos).

Da, samo mi nije jasno sta da radim ili kako da se otarasim koeficijenata koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. U ovom slucaju kada ubacim tacku koja pripada pravoj u jednacinu ravni dobijam:
[dispmath]Ax+2A+Bx-2B+Cx+2C=0[/dispmath] Da li se nuliraju ili?

A iz jednacine rastojanja dobijam jednacinu:
[dispmath]3A+2B+C+D=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/dispmath] I sta radim sada sa ove dvije jednacine?

bogdan13 je napisao:kako da se otarasim koeficijenata koji stoje uz [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]. U ovom slucaju kada ubacim tacku koja pripada pravoj u jednacinu ravni dobijam:
[dispmath]Ax+2A+Bx-2B+Cx+2C=0[/dispmath] Da li se nuliraju ili?

Ne, ubacivanjem koordinata tačke koja pripada pravoj (a samim tim i ravni) postižeš to da koeficijent [inlmath]D[/inlmath] izraziš preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].

bogdan13 je napisao:A iz jednacine rastojanja dobijam jednacinu:
[dispmath]3A+2B+C+D=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/dispmath] I sta radim sada sa ove dvije jednacine?

Nemaš još uvek dve jednačine, imaš zasad samo ovu jednu jednačinu s tri nepoznate (s tri, a ne s četiri, jer si prethodno [inlmath]D[/inlmath] izrazio preko [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] – kô što gore napisah).
(I, levi deo jednačine treba da je unutar apsolutnih vrednosti, jer taj deo može biti i negativan, za razliku od desne strane koja, zbog korena, ne može biti negativna.)

A da bi dobio drugu jednačinu s tri nepoznate, potrebno je da uradiš ovo što sam ti već napisao,

Daniel je napisao:Druga jednačina s tri nepoznate dobije se kad iskoristiš uslov da tražena ravan sadrži pravu zadatu parametarski.

ali imam utisak da si taj deo pri čitanju prevideo.

Nijesam, nego sam mislio da ako sadrzi pravu, da samim tim sadrzi i njenu tacku [inlmath]M(-2,2,-2)[/inlmath]. I tu tacku sam ubacio u jednacinu ravni koju sam ti prvu poslao u odgovoru. Da li postoji jos neki uslov ako je sadrzi?

Dakle, još jednom. Iz podatka da ravan sadrži tačku [inlmath]P(-2,2,-2)[/inlmath] izraziš koeficijent [inlmath]D[/inlmath] preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Ali na osnovu tog podatka ne dobijaš nijednu jednačinu sistema.

• Jednu jednačinu sistema dobijaš iz podatka da se tačka [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] nalazi na rastojanju [inlmath]\sqrt{14}[/inlmath] od tražene ravni. OK, to si uradio, dobio si [inlmath]|3A+2B+C+D|=\sqrt{14A^2+14B^2+14C^2}[/inlmath] (naravno, ostalo je da [inlmath]D[/inlmath] izraziš preko koeficijenata [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]);
• Drugu jednačinu sistema dobijaš iz podatka da tražena ravan sadrži pravu (dakle, ne tačku te prave nego baš pravu) koja ti je zadata parametarski. Da li znaš kako taj podatak da iskoristiš?

Da ubacim u jednacinu ravni [inlmath]x[/inlmath], [inlmath]y[/inlmath] i [inlmath]z[/inlmath]? Ako je to, kako da se otarasim parametra [inlmath]t[/inlmath] iz jedn ravni?

Ne. Ako neka ravan sadrži neku pravu, šta nam to onda govori o međusobnom položaju vektora normale te ravni i vektora te prave? I koliko onda iznosi njihov skalarni proizvod?

Jednak je nuli? I poslednje pitanje imas li savjet kako rijesiti taj sistem od tri nepoznate?

Da, jednak je nuli, jer su ta dva vektora međusobno normalna.

Iz jedne jednačine izrazi jedan od ta tri koeficijenta preko druga dva, a zatim to uvrsti u drugu jednačinu. Time ćeš dobiti jednačinu u kojoj figurišu dva koeficijenta, na osnovu čega možeš naći njihov odnos.
Ako se ne snađeš, napiši ovde te dve jednačine koje si dobio pa ćemo ti reći konkretnije šta dalje.

Vazi, hvala punoo

E ovako iz uslova da ravan sadrzi pravu izrazio sam [inlmath]B[/inlmath] i dobio [inlmath]B=2C-4A[/inlmath].
Kada sam to ubacio u formulu za rastojanje dobio sam da je [inlmath]D=\sqrt{14\left(17A^2-16AC+5C^2\right)}+5A-5C[/inlmath].
Dalje, ne znam sta bih radio

Zapravo je trebalo da dobiješ [inlmath]|-5A+5C+D|=\sqrt{14(17A^2-16AC+5C^2)}[/inlmath], a zbog apsolutne vrednosti nije korektno sabirke [inlmath]-5A[/inlmath] i [inlmath]5C[/inlmath] tek tako prebaciti na desnu stranu (a drugo, iracionalnu jednačinu ćeš upravo i rešavati tako što na jednoj strani ostaviš samo koren, kako bi se kvadriranjem obe strane oslobodio tog korena).

Sad se oslobodiš koeficijenta [inlmath]D[/inlmath] tako što ćeš ga napisati preko [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Znači, u jednačinu ravni [inlmath]Ax+By+Cz+D=0[/inlmath] uvrstiš koordinate tačke [inlmath](-2,2,-2)[/inlmath], tj. [inlmath]x=-2[/inlmath], [inlmath]y=2[/inlmath] i [inlmath]z=-2[/inlmath], i odatle izraziš [inlmath]D[/inlmath]. Njegovim uvrštavanjem u formulu koju si dobio opet će ti se pojaviti [inlmath]B[/inlmath], koje opet napišeš kao [inlmath]2C-4A[/inlmath] (da si radio onim redosledom koji sam ti napisao, tj. da si na samom početku izrazio [inlmath]D[/inlmath] preko ostalih parametara, ne bi morao dvaput da uvrštavaš [inlmath]B=2C-4A[/inlmath], već samo jednom).

Moja greska, skroz sam preumio apsolutnu, izvini. Sada kad sam sve to uradio dobijam: [inlmath]|5A+3C|=\sqrt{14\left(17A^2-16AC+15C^2\right)}[/inlmath]
Sada sve kvadriram? Onda nestaje apsolutna?

I dobijam [inlmath]213A^2-254AC+201C^2=0[/inlmath]

bogdan13 je napisao:Sada kad sam sve to uradio dobijam: [inlmath]|5A+3C|=\sqrt{14\left(17A^2-16AC+{\color{red}15}C^2\right)}[/inlmath]

Ovo crveno ti je greška (gore si lepo napisao [inlmath]5C^2[/inlmath], a ovde ti se odjednom stvorila petnaestica). Kad to ispraviš, dobićeš i ispravnu jednačinu, [inlmath]213A^2-254AC+{\color{red}61}C^2=0[/inlmath]. Nju sad možeš rešavati na bilo koji od sledeća četiri načina:

• rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]A[/inlmath], tj. tako da izračunaš [inlmath]A[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]C[/inlmath];
• rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]C[/inlmath], tj. tako da izračunaš [inlmath]C[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]A[/inlmath];
• podeliš obe strane sa [inlmath]C^2[/inlmath] i rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]\frac{A}{C}[/inlmath];
• podeliš obe strane sa [inlmath]A^2[/inlmath] i rešavaš kvadratnu jednačinu po [inlmath]\frac{C}{A}[/inlmath]

Potpuno je svejedno za koji od ova četiri načina ćeš se opredeliti, u svakom slučaju ćeš dobiti u kom međusobnom odnosu stoje koeficijenti [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Nakon toga, uvrstiš dobijeni rezultat u [inlmath]B=2C-4A[/inlmath], kako bi našao i odnos koeficijenta [inlmath]B[/inlmath] prema ostala dva koeficijenta.

Dobijam: [inlmath]A_1=\frac{61C}{71},\;A_2=\frac{C}{3}[/inlmath]. Kada to ubacim u [inlmath]B[/inlmath]: [inlmath]B_1=-\frac{102C}{71},\;B_2=\frac{2C}{3}[/inlmath]

Tako je. Dobiju se kao rešenja dve moguće ravni (pri čemu bi tačka [inlmath]M(3,2,1)[/inlmath] bila tačno „između“ njih, tj. na podjednakom rastojanju od svake).
Sada dobijene vrednosti ubaci u opšti oblik jednačine ravni, koju zatim podeliš sa [inlmath]C[/inlmath] (kako bi se oslobodio istog), a možeš i da pomnožiš NZS-om imenilaca, kako bi za koeficijente dobio lepe (čitaj: cele) brojeve.

Ubacim u jednacinu [inlmath]A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0[/inlmath]? I ubacim tacku [inlmath]M[/inlmath] i [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]?

Da. Hajde nemoj više da zapitkuješ, već uradi to do kraja, sad je lako.

Hahahahah, uradio i sracunao. Slabije mi ide ova oblast, zato sam nesiguran, Hvala ti na izdvojenom vremenu

OK, hajd da napišemo i završni rezultat kad smo već odradili ovoliko koraka – za jednu ravan treba da se dobije [inlmath]x+2y+3z+4=0[/inlmath], a za drugu [inlmath]61x-102y+71z+468=0[/inlmath].

Isto sam dobioo