MATEMANIJA

Stigao sam mozda do polovine zadatka i tu je zapelo. Ako bi mogao neko samo resenje da mi kaze, da bih otprilike znao gde gresim.
Zadatak je sledeci:
Iz tacke [inlmath]A(6,1)[/inlmath] konstruisane su tangente na elipsu [inlmath]3x^2+4y^2=48[/inlmath]. Naci jednacine tangenti elipse?

Moj postupak je sledeci,
[dispmath]\left.3x^2+4y^2=48\right/:48\\
\frac{3x^2}{48}+\frac{4y^2}{48}=0\\
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=0[/dispmath] A zatim iz formule za elipsu,
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=0[/dispmath] izvucemo [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Tako da cemo imati:
[dispmath]a^2=16\\
b^2=12[/dispmath] Zatim sam primenio formulu za eksplicitni oblik, da bih pronasao [inlmath]r[/inlmath]:
[dispmath]y=kx+r[/dispmath] odatle sledi da je
[dispmath]1=6k+r[/dispmath] a samo [inlmath]r[/inlmath],
[dispmath]r=1-6k[/dispmath] To [inlmath]r[/inlmath] iskoristimo u formuli,
[dispmath]a^2k^2+b^2=r^2[/dispmath] odavde sledi da je,
[dispmath]16k^2+12=(1-6k)^2\\
16k^2+12=1-12k+36k^2\\
36k^2-16k^2+12k+1-12=0\\
20k^2+12k-11=0[/dispmath] I zatim kvadratna jednacina,
tako da meni [inlmath]k[/inlmath] ispada,
[dispmath]k_1=\frac{12}{40}\\
k_2=\frac{-52}{40}[/dispmath] Sigurno sam negde pogresio jer ne verujem da treba razlomak da dobijem, mada nisam siguran.
Ako mozete samo da mi kazete gde/ako sam pogresio i resenje da bih video da li mi tacno ispada na kraju. Kod zadatka je ostalo samo jos [inlmath]k[/inlmath] da se primeni kako bi pronasao [inlmath]r[/inlmath] i mislim da je to sve, mada opet nisam siguran.
Hvala unapred na pomoci.

Pogresio si u racunu pri kraju zadatka kad si sredjivao kvadratnu jednacinu.

A da jesam, vidim sada ali opet ispada razlomak,
[dispmath]k_1=\frac{1}{2}\\
k_2=\frac{-44}{40}[/dispmath]

Kolega je, pretpostavljam, mislio na ovaj pogrešan plusić,

Nikola033 je napisao:[dispmath]16k^2+12=1-12k+36k^2\\
36k^2-16k^2{\color{red}+}12k+1-12=0[/dispmath]

što će, kad se ispravi, dati rešenja suprotna po znaku u odnosu na ova koja si ti dobio – dakle, takođe razlomci [inlmath]k_1=-\frac{1}{2}[/inlmath] i [inlmath]k_2=\frac{11}{10}[/inlmath], ali nemoj da te zbunjuje – to jesu tačna rešenja.

Takođe, ovde imaš grešku koja nema uticaja na rezultat,

Nikola033 je napisao:Moj postupak je sledeci,
[dispmath]\left.3x^2+4y^2=48\right/:48\\
\frac{3x^2}{48}+\frac{4y^2}{48}={\color{red}0}\\
\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}={\color{red}0}[/dispmath]

Umesto nule treba jedinica.
Ovako, s nulom, to bi bila jednačina tačke u koordinatnom početku, jer je [inlmath](x,y)=(0,0)[/inlmath] jedino rešenje takve jednačine.

Pa hajde onda da uradim do kraja, cisto da vidim da li je dobro.
Ako je
[dispmath]k_1=\frac{11}{10}[/dispmath] onda je
[dispmath]r_1=\frac{11}{10}\cdot6-1\\
r_1=\frac{66}{10}-1\\
r_1=\frac{66}{10}-\frac{10}{10}\\
r_1=\frac{56}{10}[/dispmath] Zatim ako je
[dispmath]k_2=\frac{-1}{2}[/dispmath] onda imamo da je
[dispmath]r_2=-4[/dispmath] I onda bi jednacina tangente elipse glasila:
[dispmath]t_1\colon y=\frac{11}{10}x+\frac{56}{10}[/dispmath] i
[dispmath]t_2\colon y=\frac{-1}{2}x-4[/dispmath] Nadam se da sada nema greske. A takodje i hvala na ispravci!!!

Tebi baš ne ide. Treba uvek da uvrštavanjem proveriš da li dobijena rešenja imaju smisla. Ako u dobijene jednačine tangenti uvrstiš koordinate tačke koja im pripada, tačke [inlmath]A(6,1)[/inlmath], dobijaš li da su te jednačine zadovoljene?

Priseti se da je veza između [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath] (do koje si i sâm došao):

Nikola033 je napisao:[dispmath]r=1-6k[/dispmath]

Stvarno ne znam, odustajem... Preskocicu zadatak. Valjda nece bas ovaj ili slican oveme da mi se padne na ispitu, ima jos puno oblasti a i zadataka iz Analiticke geometrije, valjda necu da budem toliki baksuz .

Da preskočiš zadatak samo zato što si greškom radio [inlmath]r=6k-1[/inlmath] umesto [inlmath]r=1-6k[/inlmath]?