MATEMANIJA

Zadane su prave [inlmath]\displaystyle p\colon\frac{x-3}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{2}[/inlmath] i [inlmath]\displaystyle q\colon\frac{x+1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{2}[/inlmath]. Odrediti u kojem su međusobnom odnosu prave. Odredite zajedničku normalu na njih, ukoliko je to moguće, te središte duži čije su krajnje tačke presjeci normale sa datim pravim.
Jasno mi je odrediti njihov odnos i normalu, međutim imam problem sa određivanjem presjeka normale i ovih pravih.

Pozdrav, zamoliću de ta ubuduće koristiš Latex (tačka 13. Pravilnika). A ni tačku 6. nisi baš sasvim ispoštovao.

Kroz jednu od ove dve prave postavi ravan takvu da je paralelna onoj drugoj pravoj – npr. kroz pravu [inlmath]p[/inlmath] ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] takvu da je paralelna pravoj [inlmath]q[/inlmath]. Zatim postavi ravan koja takođe sadrži pravu [inlmath]p[/inlmath], ali je normalna na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath]. Presek te ravni i prave [inlmath]q[/inlmath] biće jedna od dve tražene tačke (nacrtaj sliku). Dalje bi trebalo da je lako...

Izvinjavam se, pripazit ću na to.
Vezano za zadatak. Išao sam nekom logikom, ukoliko je ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] paralelna pravoj [inlmath]q[/inlmath] znači da mi je vektor normale ravni okomit na vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath]. Taj vektor imam već prethodno dobijen kao zajedničku normalu na dvije zadate prave. Da li njega mogu koristiti kao vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]? Eh sad, ukoliko imamo novu ravan, nazovimo je [inlmath]\beta[/inlmath], koja je okomita na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], njihovi vektori normala će također biti okomiti. Takav vektor već imam u vidu vektora pravca prave [inlmath]q[/inlmath]. Opet isto pitanje, da li mogu njega koristiti kao vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]? Isti ovaj postupak bih ponovio i za dobijanje druge tačke presjeka. Ukoliko ovo nije dobro, je li može neka uputa kako bih došao do ovih vektora normala za ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] i [inlmath]\beta[/inlmath], jer imam samo da su mi ovi vektori okomiti, što bi mi dalo jednu jednačinu sa tri nepoznate?

LP

Adnan K je napisao:ukoliko je ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] paralelna pravoj [inlmath]q[/inlmath] znači da mi je vektor normale ravni okomit na vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath]. Taj vektor imam već prethodno dobijen kao zajedničku normalu na dvije zadate prave. Da li njega mogu koristiti kao vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Da. Zapravo, da budemo precizniji, postoji beskonačno mnogo vektora koji su normalni (okomiti) na vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath]. Ali, postoji samo jedan koji je istovremeno normalan na vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath] i normalan na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath], a to važi za vektor zajedničke normale na te dve prave. A pošto to takođe važi i za vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], sledi da je vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] zapravo isti vektor kao i vektor zajedničke normale.

Adnan K je napisao:Eh sad, ukoliko imamo novu ravan, nazovimo je [inlmath]\beta[/inlmath], koja je okomita na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], njihovi vektori normala će također biti okomiti. Takav vektor već imam u vidu vektora pravca prave [inlmath]q[/inlmath]. Opet isto pitanje, da li mogu njega koristiti kao vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]?

Postoji takođe beskonačno mnogo vektora koji su normalni na vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath]. Vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath] samo je jedan od njih, i ne znači da će to obavezno biti i vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath]. Ono što takođe određuje vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] jeste uslov da [inlmath]\beta[/inlmath] sadrži pravu [inlmath]p[/inlmath] (i, samim tim, vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] mora biti normalan i na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath]).
(U specijalnom slučaju, kada je projekcija prave [inlmath]q[/inlmath] na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] normalna na pravu [inlmath]p[/inlmath], vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] bi bio isto što i vektor pravca prave [inlmath]q[/inlmath] – ali to je samo specijalan slučaj.)

Daniel je napisao:Ono što takođe određuje vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] jeste uslov da [inlmath]\beta[/inlmath] sadrži pravu [inlmath]p[/inlmath] (i, samim tim, vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] mora biti normalan i na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath]).

Vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] meni je zapravo normalan i na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] i vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], ako sam te dobro shvatio. Upravo sam sa tim imao problem, jer nisam baš znao šta mi tačno znači taj podatak da prava prolazi kroz ravan. Ako nije problem još mala pomoć, nevezano baš za ovaj zadatak. Ako mi kaže da ravan sadrži pravu, da li su opet njihovi vektori pravca i normale okomiti?
Hvala ti puno stvarno

Adnan K je napisao:Vektor normale ravni [inlmath]\beta[/inlmath] meni je zapravo normalan i na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] i vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], ako sam te dobro shvatio.

Tako je, na vektor pravca prave [inlmath]p[/inlmath] je normalan zbog toga što [inlmath]p\in\beta[/inlmath], a na vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] je normalan zbog toga što je [inlmath]\alpha\perp\beta[/inlmath].

Adnan K je napisao:Upravo sam sa tim imao problem, jer nisam baš znao šta mi tačno znači taj podatak da prava prolazi kroz ravan.

Pokušaj to da zamisliš u prostoru (ili da skiciraš). Nikako nemoj ovo učiti mehanički, jer je kod ovakvih zadataka najgore raditi ih napamet. Svaki od ovih zadataka zahteva da imaš neku prostornu predstavu situacije.

Adnan K je napisao:Ako nije problem još mala pomoć, nevezano baš za ovaj zadatak. Ako mi kaže da ravan sadrži pravu, da li su opet njihovi vektori pravca i normale okomiti?

Vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] će biti normalan na ravan [inlmath]\alpha[/inlmath], pa samim tim mora biti normalan i na bilo koju pravu koja pripada ravni [inlmath]\alpha[/inlmath], a samim tim normalan i na pravu [inlmath]p\in\alpha[/inlmath].
Uopšte, ako imamo [inlmath]p\in\alpha[/inlmath] i neku pravu [inlmath]q[/inlmath] takvu da je [inlmath]q\perp\alpha[/inlmath], tada mora biti i [inlmath]q\perp p[/inlmath].
Obnuto ne važi – ako je [inlmath]p\in\alpha[/inlmath] i [inlmath]q\perp p[/inlmath], tada ne mora biti i [inlmath]q\perp\alpha[/inlmath]. Pokušaj i ovu situaciju da zamisliš ili skiciraš.