MATEMANIJA

Ugao izmedju pravih [inlmath]y=k_1x+n_1[/inlmath] i [inlmath]y=k_2x+n_2[/inlmath] se racuna po formuli (za tzv. orijentisani ugao)
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}[/dispmath] ili (za tzv. apsolutni ugao)
[dispmath]\left|\text{tg }\alpha=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/dispmath] Sad ne znam kad koristim prvu a kad drugu formulu tj. ne znam razliku izmedju njih, pa molim za objasnjenje.

Frank je napisao:(za tzv. orijentisani ugao)
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}[/dispmath]

Treba napomenuti da se, kod ovako napisane formule, orijentisani ugao računa od prave čiji je koeficijent pravca [inlmath]k_2[/inlmath] do prave čiji je koeficijent pravca [inlmath]k_1[/inlmath].
Ako bi stajalo [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{k_{\color{red}2}-k_{\color{red}1}}{1+k_1k_2}[/inlmath], tada bi se ugao računao od prave [inlmath]p_1[/inlmath] do prave [inlmath]p_2[/inlmath] (kao na priloženoj slici levo).


Orijentisan ugao se meri u CCW smeru (smeru suprotnom od smera kazaljke na satu). Na primeru na slici levo, orijentisan oštar ugao od prave [inlmath]p_1[/inlmath] do prave [inlmath]p_2[/inlmath] biće pozitivan, dok će (takođe slika levo) orijentisan oštar ugao od prave [inlmath]p_2[/inlmath] do prave [inlmath]p_1[/inlmath] biti negativan (jer da bi bio oštar, mora „preći“ put po smeru kazaljke na satu).
I zaista, dok će i u prvom i u drugom slučaju imenilac biti pozitivan ([inlmath]1+k_1k_2=1+1\cdot2=3[/inlmath]), u prvom slučaju će brojilac biti pozitivan ([inlmath]k_2-k_1=2-1=1[/inlmath]) pa će i orijentisan oštar ugao biti pozitivan, a u drugom slučaju brojilac će biti negativan ([inlmath]k_1-k_2=1-2=-1[/inlmath]), pa će tada orijentisan oštar ugao biti negativan.

Frank je napisao:ili (za tzv. apsolutni ugao)
[dispmath]\left|\text{tg }\alpha=\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/dispmath]

Pretpostavljam da si hteo napisati [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath].
(Naravno, ovde je isti đavo da l' u brojiocu piše [inlmath]k_1-k_2[/inlmath] ili [inlmath]k_2-k_1[/inlmath], zbog apsolutnih zagrada.)
Pošto je ovaj ugao neorijentisan, njegova vrednost je uvek nenegativna, i predstavlja ovaj „običan“ ugao na koji smo navikli u geometriji (slika desno).

Aha, a jel imaju neka posebna "pravila" kad se koristi prva, a kad druga formula?

Ako se misli na orijentisani ugao, onda bi to trebalo u zadatku da bude naglašeno.
Više bih o tome mogao reći ako bih imao tekst nekog konkretnog zadatka koji ti stvara tu dilemu.

Evo na primer ovaj zadatak:
Naci jednacinu prave koja sadrzi tacku [inlmath]M(1,-3)[/inlmath] i sa pravom [inlmath]p\colon3x+2y-6=0[/inlmath] obrazuje ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath].
Moj nacin resavanja je sledeci:
Prvo sam jednacinu prave [[inlmath]p\colon3x+2y-6=0[/inlmath] pretvorio u eksplicitni oblik, kako bih odredio njen koeficijent pravca, [inlmath]k_2[/inlmath]
[dispmath]3x+2y-6=0[/dispmath][dispmath]y=-\frac{3}{2}x+3\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{k_2=-\frac{3}{2}}[/dispmath] Sad ako sa [inlmath]k_1[/inlmath] obelezim koeficijent pravca prave [inlmath]s[/inlmath] ([inlmath]s[/inlmath]-jednacina prave koja se trazi) imam da je tangens ugla (orijentisanog) izmedju prave [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] jednak
[dispmath]\text{tg }\alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/dispmath][dispmath]1=\frac{-\frac{3}{2}-k_1}{1-\frac{3k_1}{2}}[/dispmath][dispmath]1-\frac{3k_1}{2}=-\frac{3}{2}-k_1\hspace{5mm}/\cdot2[/dispmath][dispmath]2-3k_1=-3-2k_1[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{k_1=5}[/dispmath] Primenom jednacine prave kroz tacku (u ovom slucaju tacka [inlmath]M(1,-3)[/inlmath] dolazim do trazene jednacine prave [inlmath]s[/inlmath]:
[dispmath]y-y_1=k_1(x-x_1)[/dispmath][dispmath]y+3=5x-5[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{s\colon5x-y+8=0}[/dispmath] Medjutim u resenjima pise da postoje tacno dve prave koje zadovoljavaju oba uslova (da prolaze kroz tacku [inlmath]M[/inlmath] i zaklapaju ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath] sa pravom [inlmath]p[/inlmath])
Jednacine tih prava su sledece I:[inlmath]5x-y+8=0[/inlmath] i II:[inlmath]x+5y-14=0[/inlmath]
Ne znam kako su dosli do ove druge prave, jedino ako su ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath] posmatrali kao apsolutni, a samim tim koristili formulu [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath], a ne [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/inlmath].

Upravo zato. Ugao [inlmath]45^\circ[/inlmath] je neorijentisan, jer nigde u tekstu nije ni rečeno da mora biti orijentisan. Na slici je prikazana ta situacija:


Crveno je obeležena prava koja je data, plava prava je ona koju si ti dobio (njena jednačina je [inlmath]5x-y{\color{red}-}8=0[/inlmath], imaš grešku u jednom plusu), a zelena prava je to drugo rešenje. Kao što vidiš sa slike, ne postoji nijedan jedini razlog zbog kojeg zelena prava ne bi ispunjavala uslov zadatka.
Plava prava zaklapa s crvenom pravom ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath], ali isto tako i zelena prava zaklapa s crvenom pravom ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath].
Da je u zadatku trebalo odrediti pravu koja je u odnosu na datu pomerena za ugao [inlmath]+45^\circ[/inlmath], tada bi rešenje bila zelena prava.
Da je u zadatku trebalo odrediti pravu koja je u odnosu na datu pomerena za ugao [inlmath]-45^\circ[/inlmath], tada bi rešenje bila plava prava.

Frank je napisao:Sad ako sa [inlmath]k_1[/inlmath] obelezim koeficijent pravca prave [inlmath]s[/inlmath] ([inlmath]s[/inlmath]-jednacina prave koja se trazi) imam da je tangens ugla (orijentisanog) izmedju prave [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] jednak

Ako se govori o orijentisanom uglu, tada nije korektno reći „između prave [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath]“, jer, kao što napisah u nekom od prethodnih postova, mora da se zna od koje prave, pa do koje prave se posmatra orijentisan ugao. Ovde si, konkretno, računao orijentisan ugao od prave [inlmath]s[/inlmath] do prave [inlmath]p[/inlmath] (od prave [inlmath]s[/inlmath] do prave [inlmath]p[/inlmath] orijentisan ugao bi bio [inlmath]+45^\circ[/inlmath], ali od prave [inlmath]p[/inlmath] do prave [inlmath]s[/inlmath] orijentisan ugao bi bio [inlmath]-45^\circ[/inlmath]).

Daniel je napisao:Ako se govori o orijentisanom uglu, tada nije korektno reći „između prave [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath]“, jer, kao što napisah u nekom od prethodnih postova, mora da se zna od koje prave, pa do koje prave se posmatra orijentisan ugao. Ovde si, konkretno, računao orijentisan ugao od prave [inlmath]s[/inlmath] do prave [inlmath]p[/inlmath] (od prave [inlmath]s[/inlmath] do prave [inlmath]p[/inlmath] orijentisan ugao bi bio [inlmath]+45^\circ[/inlmath], ali od prave [inlmath]p[/inlmath] do prave [inlmath]s[/inlmath] orijentisan ugao bi bio [inlmath]-45^\circ[/inlmath]).

Izgleda da sam ostao nedorecen. Kada napisem ugao izmedju pravih [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] mislim na orijentisani ugao od prave [inlmath]s[/inlmath] do prave [inlmath]p[/inlmath], a kada napisem ugao izmedju pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] mislim na orijentisani ugao od prave [inlmath]p[/inlmath] do prave [inlmath]s[/inlmath].
Ono sto mi nije jasno je to sto ni u zadacima tipa "Naci ugao izmedju pravih [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] (naravno, date su jednacine pravih)" nije naglaseno da se trazi orijentisani ugao izmedju pravih [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath], iako se trazi isti (opet ja bez konkretnog primera, ali mislim da, u ovom slucaju, nema potrebe za tim).

Ako nije naglašeno da se traži orijentisani ugao, otkud onda znaš da se traži isti?
Definitivno je potreban neki primer, ne vredi pričati ovako napamet.

Naci ugao izmedju pravih [inlmath]y=3x[/inlmath] i [inlmath]y=-2x+5[/inlmath].
Ja sam i jednu i drugu pravu prebacio u eksplicitni oblik i odatle nasao koliko je [inlmath]k_2[/inlmath] i [inlmath]k_1[/inlmath], a potom primenio formulu [inlmath]\text{tg }\alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/inlmath]. Dobio sam isto resenje kao i u zbirci, [inlmath]\alpha=\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Medjutim, sad razmisljam, da sam primenio i formulu [inlmath]\displaystyle\text{tg }\alpha=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath] dobio bih isti rezultat.

Frank je napisao:a potom primenio formulu [inlmath]\mathrm{tg}\:\alpha=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/inlmath].

Znači, računao si orijentisan ugao.
To što si dobio pozitivnu vrednost, znači da je druga prava ([inlmath]y=-2x+5[/inlmath]) pomerena u odnosu na prvu ([inlmath]y=3x[/inlmath]) za ugao [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] u smeru suprotnom od kazaljke sata – tj. u pozitivnom smeru.
Međutim, da je kojim slučajem prva prava bila [inlmath]y=-2x+5[/inlmath], a druga [inlmath]y=3x[/inlmath] (tj. da su međusobno zamenile mesta), tada bi primenom iste formule dobio ugao [inlmath]-\frac{\pi}{4}[/inlmath] (tj. druga prava bi bila pomerena u odnosu na prvu za ugao [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath] u smeru kazaljke sata – tj. u negativnom smeru).
Ovo je i logično, jer kad se posmatra orijentisan ugao između pravih, tada je od značaja koja prava je „prva“ a koja je „druga“.

Ali, primenom formule za neorijentisan ugao (koju je u ovom zadataku i potrebno primeniti), [inlmath]\text{tg }\alpha=\left|\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath], u oba slučaja bi se dobilo isto rešenje, [inlmath]\frac{\pi}{4}[/inlmath]. Dakle, kod neorijentisanog ugla između pravih, nema „prve“ i „druge“ prave, već su obe prave „ravnopravne“.