Dobro si krenuo. Ako sve uvrstiš kako treba, dobiju se dve kvadratne jednačine (od kojih jedna nema rešenja pa nju odbacujemo, dok druga ima dva rešenja – što je i logično, jer postoje dve tačke na pravoj [inlmath]l[/inlmath] iz kojih se duž [inlmath]PQ[/inlmath] vidi pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath]).
Pokušaj, pa ako ne budeš uspeo, napiši taj deo u kom si se „spetljao“, pa ćemo pomoći.
Frank je napisao:Podatak iz postavke zadatka, [inlmath]\angle PMQ=45^\circ[/inlmath], nisam znao kako da ga "ubacim" u sistem kako bih barem malo "razbio".
Budući da prave [inlmath]PM[/inlmath] i [inlmath]QM[/inlmath] treba međusobno da zaklapaju ugao od [inlmath]45^\circ[/inlmath],
[dispmath]\text{tg }45^\circ=\left|\frac{k_{PM}-k_{QM}}{1+k_{PM}k_{QM}}\right|[/dispmath]
Predložio bih jedno možda komplikovanije, ali zanimljivije
rešenje. Čim se traži da se neka duž iz neke tačke vidi pod određenim uglom, to nekako „zove“ da iskoristimo osobinu perifernog ugla kružnice. Konstruišimo duž [inlmath]PS[/inlmath], takvu da je [inlmath]PS\perp PQ[/inlmath] i [inlmath]PS=PQ[/inlmath], pri čemu se [inlmath]S[/inlmath] nalazi s iste strane prave [inlmath]PQ[/inlmath] kao i prava [inlmath]l[/inlmath] (ovo poslednje je isto bitan uslov, kasnije će se videti zbog čega). Imaćemo situaciju kao na slici:
- periferni ugao.png (3.6 KiB) Pogledano 1787 puta
(naravno, potrebno je pre svega ovoga proveriti i jesu li tačke [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] s iste strane prave [inlmath]l[/inlmath] – pokazuje se da jesu.)
Iz tačke [inlmath]S[/inlmath] duž [inlmath]PQ[/inlmath] će se videti pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath] (jer su [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath] temena kvadrata, pri čemu su [inlmath]P[/inlmath] i [inlmath]Q[/inlmath] susedna temena).
To znači, ako konstruišemo kružnicu [inlmath]k[/inlmath] takvu da sadrži tačke [inlmath]P[/inlmath], [inlmath]Q[/inlmath] i [inlmath]S[/inlmath], tada će se iz svih tačaka kružnice [inlmath]k[/inlmath] koje su s iste strane tetive [inlmath]PQ[/inlmath] kao i tačka [inlmath]S[/inlmath], duž [inlmath]PQ[/inlmath] videti pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath].
To, opet, znači da će presek kružnice [inlmath]k[/inlmath] i prave [inlmath]l[/inlmath] dati upravo tražena rešenja – [inlmath]M_1[/inlmath] i [inlmath]M_2[/inlmath] – jer one pripadaju pravoj [inlmath]l[/inlmath], a i duž [inlmath]PQ[/inlmath] se iz svake od njih vidi pod uglom od [inlmath]45^\circ[/inlmath].
(Prilikom konstrukcije kružnice [inlmath]k[/inlmath] može se iskoristiti činjenica da se centar te kružnice nalazi na sredini duži [inlmath]QS[/inlmath].)
Opet napominjem, jednostavniji je onaj način na koji si krenuo, preporučujem da njega i dovršiš. Ovaj način s perifernim uglom dobar je radi vežbe i vizuelizacije problema.
Poslato: Ponedeljak, 10. Februar 2020, 22:55
Podatak iz postavke zadatka, [inlmath]\angle PMQ=45^\circ[/inlmath], nisam znao kako da ga "ubacim" u sistem kako bih barem malo "razbio". Svaka ideja bi dobro dosla. Hvala! 