MATEMANIJA

Naci jednacinu kruga koji sadrzi tacku [inlmath]A(1,0)[/inlmath] i dodiruje dve paralelne prave [inlmath]p\colon2x+y+2=0[/inlmath] i [inlmath]s\colon2x+y-18=0[/inlmath].
Jednacina kruga (tacnije kruznice) u opstem obliku glasi [inlmath](x-a)^2+(b-a)^2=r^2[/inlmath]. Prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] dodiruju krug, tj. one su njegove tangente. Prava oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath] je tangenta kruga ako je [inlmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n)^2[/inlmath]. Iz ovoga zakljucujem: Da bi prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] bile tangente kruga neophodno je da ispunjavaju uslove
[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_1)^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_2)^2[/dispmath] Poluprecnik kruga [inlmath]r[/inlmath] je jednak polovini rastojanja izmedju prava [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]. Na primer, uzmem tacku [inlmath]N(-1,0)[/inlmath] koja pripada pravoj [inlmath]p[/inlmath] i odredim njeno rastojanje od prave [inlmath]s[/inlmath]. Dobijam da je rastojanje tacke [inlmath]N[/inlmath] od prave [inlmath]s[/inlmath] jednako [inlmath]4\sqrt5[/inlmath] sto je ujedno i rastojanje prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], pa je [inlmath]r=\frac{4\sqrt5}{2}=2\sqrt5[/inlmath]. Sad ako se vratim na navedeni sistem imam dve jednacine sa dve nepoznate (imam [inlmath]r[/inlmath], [inlmath]k[/inlmath], [inlmath]n_1[/inlmath], [inlmath]n_2[/inlmath], a traze se koordinate centra kruga, [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]). Kad sredim ovaj sistem dobijem odnos [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Kako imam sistem sa istim brojem jednacina i nepoznatih trebalo bi da dobijem ogranicen broj resenja, u zavisnosti od vrste jednacina.
Sa druge strane, logicno je da postoji beskonacno mnogo krugova kojima je poluprecnik [inlmath]2\sqrt5[/inlmath], a prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] tangente (a ni tacka [inlmath]A[/inlmath] nije data bez razloga). Sad ne znam koja od ove dve konkluzije je pogresna, rekao bih da je prva (broj jednacina i broj nepoznatih), ali ne znam sta je tacno u njoj pogresno.

Samo da pitam, da li se traži jednačina kruga koji sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath], ili jednačina kružnice koja sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath]?

U prvom slučaju ćeš imati beskonačan broj krugova koji zadovoljavaju uslov zadatka. Ali, tada nećeš raditi preko jednačine kružnice nego preko jednačine kruga. U ovom slučaju bi bio tačan tvoj zaključak o beskonačnom broju krugova.

U drugom slučaju koristimo jednačinu kružnice i tada ćemo imati tačno dva rešenja. U ovom slučaju bi bio tačan tvoj zaključak da sistem dve jednačine sa dve nepoznate ima dva rešenja.

Dakle oba tvoja zaključka su tačna, ali ne u isto vreme. U zavisnosti od toga šta se traži koristićeš jedno ili drugo.

Dodao bih (zbog eventualnih budućih sličnih zadataka) da ovakvo rasuđivanje važi kada se tačka [inlmath]A[/inlmath] nalazi "između" pravih. Ukoliko bi se tačka [inlmath]A[/inlmath] nalazila na jednoj od ove dve prave, postojao/la bi samo jedan/jedna krug/kružnica koji/a ispunjava uslove zadatka. Ako bi tačka [inlmath]A[/inlmath] bila "izvan" ove dve prave, zadatak ne bi imao rešenje.

miletrans je napisao:Samo da pitam, da li se traži jednačina kruga koji sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath], ili jednačina kružnice koja sadrži tačku [inlmath]A[/inlmath]?

U zbirci pise "odrediti jednacinu kruga", ali sudeci po drugim zadacima i njihovim resenjima trazi se u stvari "jednacina kruznice" (ocigledno je da nisu dovoljno precizni).

Evo da jos malo bolje formulisem svoje pitanje: Kad izracunam poluprecnik kruga imam sistem od dve jednacine i dve nepoznate (zanemarujem tacku [inlmath]A[/inlmath]) i samim tim bi trebalo da dobijem resenja tipa (npr. [inlmath]a=5[/inlmath], [inlmath]b=-6[/inlmath]), a ne odnos [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] (npr. [inlmath]a=2b+7[/inlmath]). Sa druge strane logicno je da ce postojati beskonaco puno krugova koji se nalaze izmedju prava [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath] (samim tim koordinate centra nisu "fiksirane"), ali postoje samo dva kruga koja sadrze tacku [inlmath]A[/inlmath] (sto si ti vec vrlo razumljivo objasnio). Nadam se da sam sad bio malo precizniji.

Pa, hajde da lepo uvrstimo konkretne vrednosti u jednačine koje si dobio,

Frank je napisao:[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_1)^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_2)^2[/dispmath]

pa da vidimo šta se tu dešava. Dobiće se
[dispmath]-2a-b-2=\pm10\\
-2a-b+18=\pm10[/dispmath] Pošto u obe jednačine [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] figurišu isključivo kao [inlmath]-2a-b[/inlmath], odmah je jasno da od dobijanja konkretnih vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath] – nema ništa. U najboljem slučaju, dobićemo samo koliko iznosi [inlmath]-2a-b[/inlmath], tj. veza između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Kako su rešenja prve jednačine [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath] i [inlmath]-2a-b=12[/inlmath], a rešenja druge jednačine [inlmath]-2a-b=-28[/inlmath] i [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath], a moraju i jedna i druga jednačina biti zadovoljene, to za rešenje ovog sistema dobijamo [inlmath]-2a-b=-8[/inlmath].
Ovo, zapravo, znači da se centar kružnice (s koordinatama [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]) mora nalaziti na pravoj čija je jednačina [inlmath]-2x-y=-8[/inlmath] (što je i logično, jer je to prava paralelna pravama [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], a podjednako udaljena od obe prave – tj. do njene jednačine smo mogli doći i na lakši način, time što znamo da joj je koeficijent pravca jednak koeficijentima pravaca pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath], a slobodan član joj je jednak aritmetičkoj sredini slobodnih članova pravih [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]s[/inlmath]).

BTW ono preostalo rešenje prve jednačine, [inlmath]-2a-b=12[/inlmath], odgovaralo bi kružnicama koje bi dodirivale pravu [inlmath]p[/inlmath], ali bi se nalazile sa suprotne strane prave [inlmath]p[/inlmath] nego prava [inlmath]s[/inlmath]. (Analogno i za rešenje [inlmath]-2a-b=-28[/inlmath].)

Frank je napisao:U zbirci pise "odrediti jednacinu kruga", ali sudeci po drugim zadacima i njihovim resenjima trazi se u stvari "jednacina kruznice" (ocigledno je da nisu dovoljno precizni).

Eh, nedoslednost među matematičarima oko značenja pojmova (i kamo lepe sreće da je to jedina nedoslednost u matematici – ima ih kol'ko voliš, nažalost). Ovde je bilo reči o tome.

Daniel je napisao:Pošto u obe jednačine [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] figurišu isključivo kao [inlmath]-2a-b[/inlmath], odmah je jasno da od dobijanja konkretnih vrednosti za [inlmath]a[/inlmath] i za [inlmath]b[/inlmath] – nema ništa.

Da, da, a da je pisalo na primer
[dispmath]a+2b=\pm10[/dispmath][dispmath]-2a+b+10=\pm10[/dispmath] onda bi postojalo jedinstveno resenje? Mislim da je to ono sto je me bunilo.

Daniel je napisao:Eh, nedoslednost među matematičarima oko značenja pojmova (i kamo lepe sreće da je to jedina nedoslednost u matematici – ima ih kol'ko voliš, nažalost).

Kruznica je samo deo kruga, tu nema diskusije.

Frank je napisao:Da, da, a da je pisalo na primer
[dispmath]a+2b=\pm10[/dispmath][dispmath]-2a+b+10=\pm10[/dispmath] onda bi postojalo jedinstveno resenje? Mislim da je to ono sto je me bunilo.

Ne bi postojalo jedinstveno rešenje, zbog znaka [inlmath]\pm[/inlmath], ali bi postojao konačan broj rešenja. To ostavljam tebi da proveriš, nije teško, prvoj jednačini pomnoženoj sa dva dodaš drugu jednačinu (ili od prve jednačine oduzmeš drugu pomnoženu sa dva – isti đavo). A ja sad odo' spavat.

Daniel je napisao:U najboljem slučaju, dobićemo samo koliko iznosi [inlmath]-2a-b[/inlmath], tj. veza između [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Zasto u najboljem slucaju, jel ne mora uvek da se dobije veza izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]? Jedan slican zadatak sam radio na ovaj nacin i na kraju nema nikakvog preseka, tj. sve 4 jednacine u kojima fugurisu [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] su razlicite.

Pa eto, upravo si sam sebi dao odgovor na pitanje.

Najočigledniji takav primer bio bi sistem [inlmath]\begin{array}{l} -2a-b=0\\ -2a-b=1 \end{array}[/inlmath].

Daniel je napisao:Najočigledniji takav primer bio bi sistem [inlmath]\begin{array}{l} -2a-b=0\\ -2a-b=1 \end{array}[/inlmath].

Ovo mi nije jasno. Ovde su leve strane jednake, samim tim moraju biti i desne. Ocigledno [inlmath]0\ne1[/inlmath], pa zakljucujem da sistem nema resenja. Al iz prethodnih postova u vezi sistema vidim da je ovaj zakljucak pogresan, pa mi nije jasno gde gresim.

Pitao si zbog čega sam rekao „u najboljem slučaju“, i ja sam ti dao primer sistema koji nema rešenja.

Pošto je ovo ipak tema o paralelnim pravama i kružnici a ne o sistemima jednačina, zamoliću te da, ukoliko imaš još nejasnoća oko linearnih sistema, to postaviš kao posebnu temu u „Linearnoj algebri“.

Daniel je napisao:Pitao si zbog čega sam rekao „u najboljem slučaju“, i ja sam ti dao primer sistema koji nema rešenja.

Ali uprkos tome postoji krug (tacnije 2 kruga) koji zadovoljavaju uslove iz postavke zadatka, prave [inlmath]s[/inlmath] i [inlmath]p[/inlmath] tangente, a sadrzi tacku [inlmath]A[/inlmath]. Mislim, ako sistem nema resenja, logicno je da ne postoji nijedan krug koji zadovoljava navedene uslove.
Nadam se da se ovaj post uklapa u temu.

Govorio sam uopšteno o sistemima jednačina, zbog toga sam rekao „u najboljem slučaju“.
U ovom konkretnom zadatku, naravno da mora postojati familija kružnica koje dodiruju svaku od dve paralelne prave.
Nadam se da je sad nesporazum otklonjen.

Ma samo mi nije logicno sto kad radim na ovaj nacin sto si ti pokazao kod nekih zadataka ne dobijem vezu i izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] a kad radim na neki svoj nacin (koji cu sad izloziti) dobijem vezu izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Zato ja ovoliko zatrakujem svojim pitanjima. Posto postoji beskonacno puno kruznica mora postojati neka veza izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].
Evo samo da pokazem neki svoj nacin resavanja sistema
[dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_1)^2[/dispmath][dispmath]r^2\left(1+k^2\right)=(ka-b+n_2)^2[/dispmath] Sad kako su leve strane uvek jedanke (za svako [inlmath]r[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] u opstem slucaju tj. [inlmath]r=2\sqrt5[/inlmath] i [inlmath]k=-2[/inlmath] u ovom konkretnom slucaju) moraju biti i desne jednake. Najlakse je primeniti razliku kvadrata jer se obicno dobije da jedan od dva cinioca ne sadrzi ni [inlmath]a[/inlmath] ni [inlmath]b[/inlmath] (slobodan clan ne menja nista) tako da onaj drugi cinilac mora biti jednak nuli. Samo bih dodao da pri ovakvom nacinu resavanja moze da se dobije da je npr. [inlmath]b=0[/inlmath] ili [inlmath]a=6[/inlmath] (u oba cinioca figurise ili [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath]). To znaci da kad je [inlmath]b=0[/inlmath] jednacine su zadovoljene za svako [inlmath]a[/inlmath] (analogno i za [inlmath]a[/inlmath]). Najverovatnije ce, zbog nekog dodatnog uslova (da sadrzi [inlmath]N[/inlmath] i slicno), jedno od ova dva resenja otpasti.

Ovo s razlikom kvadrata je odlična ideja, na taj način se zaista pojednostavljuje postupak.

Ali, nisam razumeo odakle ti ovo:

Frank je napisao:moze da se dobije da je npr. [inlmath]b=0[/inlmath] ili [inlmath]a=6[/inlmath] (u oba cinioca figurise ili [inlmath]a[/inlmath] ili [inlmath]b[/inlmath]). To znaci da kad je [inlmath]b=0[/inlmath] jednacine su zadovoljene za svako [inlmath]a[/inlmath] (analogno i za [inlmath]a[/inlmath]).

Daniel je napisao:Ali, nisam razumeo odakle ti ovo:

Ne znam da li se razumemo ali nisam mislio na ovaj zadatak nego na neke slicne. Evo na primer ovaj:
Odrediti jednacinu kruga koji sadrzi koordinatni pocetak, a prave [inlmath]p\colon3x-4y+8=0[/inlmath] i [inlmath]s\colon3x+4y+8[/inlmath] su mu tangente.
U ovom zadatku se dobije pomenuta situacija (barem sam ja tako dobio kada sam primenio razliku kvadrata).

Frank je napisao:Ma samo mi nije logicno sto kad radim na ovaj nacin sto si ti pokazao kod nekih zadataka ne dobijem vezu i izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] a kad radim na neki svoj nacin (koji cu sad izloziti) dobijem vezu izmedju [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

Ovo je pitanje iako mozda ne ostavlja takav utisak.

Primer ti baš i nije najbolji, jer se u njemu dobije sistem od dve identične jednačine (tj. dobije se zapravo jedna jednačina), [inlmath]\frac{25}{16}r^2=4[/inlmath].
To je posledica toga što, u ovom konkretnom zadatku, ako je jedna prava tangenta ove kružnice, tada će tangenta te kružnice biti i druga prava.
Pokušaj i da zamisliš vizuelno – ako u opštem slučaju imaš kružnicu s datim koordinatama centra a čiji se poluprečnik traži, tada će ta kružnica biti sasvim određena samo jednom svojom tangentom.