MATEMANIJA

Naci jednacinu kruga koji date krugove [inlmath]k_1[/inlmath], [inlmath]k_2[/inlmath], [inlmath]k_3[/inlmath] sece pod pravim uglom:
[inlmath]k_1\colon(x-1)^2+(y-2)^2=7[/inlmath]; [inlmath]k_2\colon(x-3)^2+y^2=5[/inlmath]; [inlmath]k_3\colon(x+4)^2+(y+1)^2=9[/inlmath].
Meni je najveci problem kako da pocnem zadatak jer nemam nikakvu predstavu kako otprilike izgleda skica sa pravim uglom izmedju kruznica. Prvi put se susrecem sa zadacima ovog tipa pa mi stvarno ne pada nikakva ideja kako se ovo radi.

Kad se kaže da se dva kruga seku pod pravim uglom, to znači da se njihove tangente u tački preseka seku pod pravim uglom:


Na slici sam obeležio prav ugao na samo jednoj tački preseka, ali će isto to važiti i za drugu tačku preseka (kad se dva kruga seku, onda se u obe presečne tačke seku pod istim uglom – to se lako dokazuje preko SSS stava podudarnosti trouglova).

Samo da pitam da li ovo vazi iskljucivo za prav ugao?

Ne.

Ako sam dobro zakljucio - ako se dva kruga seku pod pravim uglom znaci da tangenta "prvog" kruga sadrzi centar "drugog", analogno i za "drugi" krug?

Upravo tako, jer su tangenta kružnice u nekoj tački i poluprečnik kružnice koji sadrži tu tačku – međusobno normalni.
Dakle, tangenta [inlmath]t_1[/inlmath] prve kružnice u tački preseka [inlmath]A[/inlmath] normalna je na tangentu [inlmath]t_2[/inlmath] druge kružnice u istoj toj tački preseka (po uslovu zadatka), a pošto je i poluprečnik [inlmath]O_2A[/inlmath] normalan na tangentu [inlmath]t_2[/inlmath] sledi da tangenta [inlmath]t_1[/inlmath] mora sadržati poluprečnik [inlmath]O_2A[/inlmath], pa samim tim i centar [inlmath]O_2[/inlmath].
Analogno se pokazuje i da tangenta [inlmath]t_2[/inlmath] sadrži centar [inlmath]O_1[/inlmath].

Upravo to se i koristi da bi se postavio uslov da se kružnice [inlmath](x-p_1)^2+(y-q_1)^2=r_1^2[/inlmath] i [inlmath](x-p_2)^2+(y-q_2)^2=r_2^2[/inlmath] seku pod pravim uglom:


Sa slike se, na osnovu Pitagorine teoreme primenjene na trougao [inlmath]\triangle O_1AO_2[/inlmath], uočava da rastojanje centara ove dve kružnice mora iznositi [inlmath]\sqrt{r_1^2+r_2^2}[/inlmath]. Drugim rečima, [inlmath]O_2[/inlmath] se mora nalaziti na kružnici čiji je centar [inlmath]O_1[/inlmath] a poluprečnik [inlmath]\sqrt{r_1^2+r_2^2}[/inlmath], tj. nalazi se na kružnici čija je jednačina [inlmath](x-p_1)^2+(y-q_1)^2=r_1^2+r_2^2[/inlmath] (to je kružnica koncentrična kružnici [inlmath]k_1[/inlmath]). Na ovaj način, korsiteći podatak da se tražena kružnica seče pod pravim uglom sa svakom od tri zadate kružnice, dobija se sistem od tri jednačine s tri nepoznate, koji si i napisao u ovoj temi.