MATEMANIJA

Svetlosni zrak usmeren po pravcu prave [inlmath]y=\frac{2}{3}x-4[/inlmath] pogadja [inlmath]x[/inlmath]-osu. Odrediti upadnu tacku zraka i jednacinu prave po kojoj se zrak odbio.
Tacno resenje je [inlmath]X(6,0)[/inlmath]; [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+4[/inlmath].
Upadnu tacku sam odredio tako sto sam [inlmath]y=0[/inlmath] uvrstio u jednacinu prave svetlosnog zraka. Kako se zrak odbija od [inlmath]x[/inlmath]-ose (kao i od svake druge prave) znaci da upadni ugao mora biti jednak odbojnom. Jednacina prave odbijenog zraka ce prolaziti kroz upadnu tacku [inlmath]X(6,0)[/inlmath] sto znaci da treba jos odrediti njen koeficijent pravca. Ne mogu odrediti ugao [inlmath]\phi[/inlmath] (ugao izmedju pozitivnog dela [inlmath]x[/inlmath]-ose i prave [inlmath]y=\frac{2}{3}x-4[/inlmath]) jer ne postoji nijedan "lep" ugao ciji tangens iznosi [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath]. Da umesto [inlmath]\frac{2}{3}[/inlmath] pise, na primer, [inlmath]\sqrt3[/inlmath], onda bi stvari bile dosta drugacije (u tom slucaju [inlmath]\phi[/inlmath] bi iznosilo [inlmath]60^\circ[/inlmath]). Da je dato da se zrak odbija od neke prave oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath], prava koja nije paralelna sa nekom od osa, onda bih po formuli [inlmath]\displaystyle\text{tg }\phi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath] lako izracunao koeficijent pravca trazene prave, a ovako... Nemam ideju kako da dodjem do koeficijenta pravca jednacine odbijenog zraka, pa bi svaka pomoc dobro dosla.

Frank je napisao:Tacno resenje je [inlmath]X(6,0)[/inlmath]; [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+4[/inlmath].

Da u ovom rešenju nešto ne valja lako se vidi ako se koordinate tačke [inlmath]X[/inlmath] uvrste u [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+4[/inlmath].

U ovom zadatku, zapravo, nema potrebe ni za kakvim formulama. Pošto su upadni i odbojni zrak simetrični u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, to znači da će koeficijenti pravaca ova dva zraka biti jednaki po apsolutnim vrednostima, a suprotnog znaka ([inlmath]k_\text{odb}=-k_\text{up}[/inlmath]). Isto to važi i za [inlmath]y[/inlmath]-koordinate preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom, iliti slobodne članove u jednačini prave ([inlmath]n_\text{odb}=-n_\text{up}[/inlmath]).
Dakle, praktično se samo prepiše jednačina prave upadnog zraka, pri čemu se promene znakovi (plus u minus, minus u plus).

---

A ako baš želiš po formuli,

Frank je napisao:Da je dato da se zrak odbija od neke prave oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath], prava koja nije paralelna sa nekom od osa, onda bih po formuli [inlmath]\displaystyle\text{tg }\phi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath] lako izracunao koeficijent pravca trazene prave, a ovako...

Pa [inlmath]x[/inlmath]-osa se i može posmatrati kao prava oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath] kod koje je [inlmath]k=0[/inlmath] i [inlmath]n=0[/inlmath], zar ne?
Uvrštavanjem [inlmath]k_2=0[/inlmath] dobio bi da je [inlmath]|k_\text{odb}|=|k_\text{up}|[/inlmath], a pošto upadni i odbojni zrak ne mogu biti paralelni (izuzev u slučaju [inlmath]\phi=90^\circ[/inlmath], ali tada koeficijenti pravaca ne bi ni bili definisani), rešenje [inlmath]k_\text{odb}=k_\text{up}[/inlmath] odbacujemo i ostaje jedino [inlmath]k_\text{odb}=-k_\text{up}[/inlmath].

Daniel je napisao:Da u ovom rešenju nešto ne valja lako se vidi ako se koordinate tačke [inlmath]X[/inlmath] uvrste u [inlmath]y=-\frac{3}{4}x+4[/inlmath].

Izvinjavam se, pogresan zadatak sam gledao. Tacno resenje je [inlmath]y=-\frac{2}{3}x+4[/inlmath].

Tako je već bolje.