MATEMANIJA

Odrediti jednacine stranica trougla ako je [inlmath]A=(2,-4)[/inlmath], simetrali ugla [inlmath]\beta[/inlmath] odgovara jednacina [inlmath]x+y−2=0[/inlmath], dok simetrali ugla [inlmath]\gamma[/inlmath] odgovara jednacina [inlmath]x−3y−6=0[/inlmath]. Zaglavio sam na jednom delu zadatka. Našao sam tačku preseka svih simetrala i to je [inlmath]S=(3,-1)[/inlmath], odatle sam našao simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i to je [inlmath]3x-y-10=0[/inlmath], nakon toga sam odredio tačku [inlmath]D=(4,2)[/inlmath] koja pripada pravcu [inlmath]BC[/inlmath], ne znam šta bi trebalo dalje da se radi, zamolio bih Vas za obrazloženje zadatka po koracima, unapred hvala!

markovic030 je napisao:Našao sam tačku preseka svih simetrala i to je [inlmath]S=(3,-1)[/inlmath], odatle sam našao simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] i to je [inlmath]3x-y-10=0[/inlmath],

Dovde sve OK

markovic030 je napisao:nakon toga sam odredio tačku [inlmath]D=(4,2)[/inlmath] koja pripada pravcu [inlmath]BC[/inlmath],

Ovo ne znam kako si dobio?

markovic030 je napisao:ne znam šta bi trebalo dalje da se radi,

Iako si tačku [inlmath]S[/inlmath], kao i simetralu ugla [inlmath]\alpha[/inlmath] ispravno odredio, njih zapravo i nema potrebe tražiti. Umesto toga, nađeš simetričnu tačku tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na simetralu ugla [inlmath]\beta[/inlmath] (neka je to tačka [inlmath]A'[/inlmath]), ona pripada stranici [inlmath]a[/inlmath]. Na isti način nađeš i simetričnu tačku tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na simetralu ugla [inlmath]\gamma[/inlmath] (neka je to tačka [inlmath]A''[/inlmath]), ona takođe pripada stranici [inlmath]a[/inlmath]. Prema tome, obe tačke, i [inlmath]A'[/inlmath] i [inlmath]A''[/inlmath], pripadaju stranici [inlmath]a[/inlmath], koju iz toga lako odrediš. U preseku stranice [inlmath]a[/inlmath] sa simetralom ugla [inlmath]\beta[/inlmath] i sa simetralom ugla [inlmath]\gamma[/inlmath] dobiće se temena [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] respektivno, i pošto sad imaš koordinate sva tri temena, nije problem odrediti i jednačine preostale dve stranice.

Nije mi jasno kako da nađem te dve tačke koje su simetrične na simetrale uglova...

Zadatak sam rešio, imam samo još jedno pitanje, zašto sve simetrične tačke sa temenima pripadaju datoj pravoj?

Zbog toga što iz podudarnosti trouglova [inlmath]\triangle ABT[/inlmath] i [inlmath]\triangle A'BT[/inlmath] (stav SUS) sledi [inlmath]\angle ABT=\angle A'BT=\frac{\beta}{2}[/inlmath]. A pošto je i [inlmath]\angle ABT=\angle CBT=\frac{\beta}{2}[/inlmath], sledi da [inlmath]B[/inlmath], [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]A'[/inlmath] moraju biti na istoj pravoj.

Analogno se dokazuje da je i [inlmath]A''[/inlmath] na istom pravcu sa [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath].