MATEMANIJA

U elipsu [inlmath]x^2+4y^2=36[/inlmath] upisan je kvadrat. Odrediti duzinu stranice tog kvadrata.
Uspeo sam da resim ovaj zadatak ali ga napisah ovde zbog jedne druge nedoumice sa kojom sam se susreo u vise zadataka - jednacina elipse u tekstu zadatka. Jednacina elipse u opstem obliku glasi [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath]. Ako uporedim ove dve jednacine, jednacinu elipse iz postavke zadatka i opsti oblik jednacine elipse, vidim da se nesto ne uklapa. Da je kojim slucajem umesto [inlmath]x^2+4y^2=36[/inlmath] pisalo, na primer, [inlmath]x^2+4y^2=4[/inlmath] onda bi sve bilo OK.
Nisam siguran, ali mislim da je problem u opstem obliku jednacine elipse. Rekao bih da oblik [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath] vazi samo kada se centar elipse poklapa sa koordinatnim pocetkom? Ako sam u pravu onda [inlmath]y[/inlmath]-koordinate fokusa elipse nece biti nule, a ni [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ne moraju biti simetricne u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu? Ako centar elipse nije u koordinatnom pocetku onda sve formule (uslov dodira, tangenta kroz datu tacku...) dobijaju slozeniji oblik.

Frank je napisao:Jednacina elipse u opstem obliku glasi [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath].

Taj oblik baš i nije pogodan, zbog toga što iz njega ne možemo odmah očitati koliko iznose poluose [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. To jest, možemo ukoliko desna strana jeste jednaka koeficijentima uz [inlmath]x[/inlmath] i uz [inlmath]y[/inlmath] na levoj strani, kao npr. u jednačini [inlmath]4x^2+9y^2=36[/inlmath] – tada se vidi da je [inlmath]b^2=4[/inlmath] i [inlmath]a^2=9[/inlmath]. Međutim, šta ako sad obe strane te jednačine pomnožimo sa npr. [inlmath]4[/inlmath] (što je, naravno, dozvoljeno)? Dobićemo [inlmath]16x^2+36y^2=144[/inlmath], i to je taj oblik koji te buni, budući da desna strana više nije jednaka proizvodu koeficijenata s leve strane (iako to i dalje jeste ta ista elipsa).

Uopšteno, ti si mogao obe strane jednačine [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath] pomnožiti sa [inlmath]4[/inlmath] i to je onda [inlmath]4b^2x^2+4a^2y^2=4a^2b^2[/inlmath], tj. [inlmath](2b)^2x^2+(2a)^2y^2=(2a)^2b^2[/inlmath]. To je ono za šta kažeš da se „ne uklapa“.

Zbog toga je mnogo pogodniji oblik jednačine elipse onaj koji dobijemo deljenjem obe strane onime što imamo na desnoj strani, tj. deljenjem sa [inlmath]a^2b^2[/inlmath], čime na desnoj strani ostaje samo jedinica:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/dispmath] E, iz ovog oblika bez ikakvog razmišljanja i računanja, odmah vidimo koliko iznose kvadrati poluosa elipse.

Dakle, ako baš želimo da saznamo poluose elipse u ovom zadatku (mada to nije neophodno), našu jednačinu [inlmath]x^2+4y^2=36[/inlmath] ćemo podeliti sa [inlmath]36[/inlmath] i dobiti
[dispmath]\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1[/dispmath] odakle se odmah vidi koliko iznose poluose.

A onaj oblik [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath] bi za ovu elipsu, prema tome, glasio [inlmath]9x^2+36y^2=324[/inlmath] (što bi se dobilo množenjem obe strane zadatog oblika [inlmath]x^2+4y^2=36[/inlmath] sa [inlmath]9[/inlmath]).

Frank je napisao:Rekao bih da oblik [inlmath]b^2x^2+a^2y^2=a^2b^2[/inlmath] vazi samo kada se centar elipse poklapa sa koordinatnim pocetkom?

Kao što sam malopre pokazao, i jednačina iz ovog zadatka (iako ne odgovara obliku koji si naveo) važi za elipsu čiji je centar u koordinatnom početku, samo što taj oblik jednačine nije baš zgodan.
A formula za elipsu čije su [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate centra [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] respektivno, glasi
[dispmath]\frac{(x-p)^2}{a^2}+\frac{(y-q)^2}{b^2}=1[/dispmath] Dakle, umesto [inlmath]x[/inlmath] smo pisali [inlmath]x-p[/inlmath], a umesto [inlmath]y[/inlmath] smo pisali [inlmath]y-q[/inlmath]. I to isto važi za jednačine i svih ostalih krivih koje su u odnosu na svoj osnovni položaj pomerene za [inlmath]p[/inlmath] u pozitivnom smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose i za [inlmath]q[/inlmath] u pozitivnom smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose. (Da je pomereno za [inlmath]p[/inlmath] u negativnom smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. „nalevo“, tada bismo umesto [inlmath]x[/inlmath] pisali [inlmath]x+p[/inlmath]; slično i za [inlmath]y[/inlmath].)

Možemo reći da je osnovni položaj elipse zapravo specijalan slučaj kada je [inlmath]p=0[/inlmath] i [inlmath]q=0[/inlmath], i kada se [inlmath]x-p[/inlmath] i [inlmath]y-q[/inlmath] svode na [inlmath]x-0[/inlmath] i na [inlmath]y-0[/inlmath], tj. na [inlmath]x[/inlmath] i na [inlmath]y[/inlmath].

Frank je napisao:Ako sam u pravu onda [inlmath]y[/inlmath]-koordinate fokusa elipse nece biti nule, a ni [inlmath]x[/inlmath]-koordinate ne moraju biti simetricne u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu? Ako centar elipse nije u koordinatnom pocetku onda sve formule (uslov dodira, tangenta kroz datu tacku...) dobijaju slozeniji oblik.

Tako je, [inlmath]y[/inlmath]-koordinate žiža biće jednake [inlmath]y[/inlmath]-pomeraju [inlmath]q[/inlmath] (tj. [inlmath]y[/inlmath]-koordinati centra elipse), a žiže će, umesto da budu simetrične u odnosu na [inlmath]y[/inlmath]-osu, biti simetrične u odnosu na pravu [inlmath]x=p[/inlmath].

---

Napisah gore da u ovom zadatku nije neophodno određivati poluose elipse. To je zbog toga što će, zbog simetrije elipse u odnosu na obe koordinatne ose, i taj upisani kvadrat biti simetričan u odnosu na obe koordinatne ose, pa ako zamislimo ili nacrtamo sliku videćemo da se dva njegova temena moraju nalaziti na pravoj [inlmath]y=x[/inlmath], a druga dva temena na pravoj [inlmath]y=-x[/inlmath]. Dovoljno je odrediti jedan presek elipse i prave [inlmath]y=x[/inlmath] (jednostavnim uvrštavanjem [inlmath]y=x[/inlmath] u jednačinu [inlmath]x^2+4y^2=36[/inlmath]), to će biti jedno teme kvadrata, a zatim se vrlo lako sa same slike može odrediti i dužina ivice kvadrata. Pretpostavljam da si tako i radio.

Daniel je napisao:Pretpostavljam da si tako i radio.

Upravo tako.
Ako se ne varam, ako u jednacini elipse ne figurisu linearni clanovi (npr. [inlmath]5y[/inlmath], [inlmath]6x[/inlmath]...) onda se njen centar poklapa sa koordinatnim pocetkom, a ako ipak figurisu to znaci da je neka (ili obe) od koordinata centra elipse pomerena u odnosu na presek [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] ose?

Tako je. Ako figuriše linearni član s [inlmath]x[/inlmath] tada će elipsa biti pomerena po [inlmath]x[/inlmath]-osi, ako figuriše linearni član s [inlmath]y[/inlmath] tada će elipsa biti pomerena po [inlmath]y[/inlmath]-osi, a ako figurišu oba ta člana elipsa će biti pomerena po obe ose.
A ukoliko figuriše član s [inlmath]xy[/inlmath], tada će elipsa biti zarotirana. Al' preporučujem ti da zasad ne razmišljaš o tome.