Naci jednacinu tangente koja dodiruje elipsu [inlmath]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1[/inlmath] u tacki [inlmath]A(2,-3)[/inlmath].
Ovaj zadatak mogu jednostavno uraditi primenom formule [inlmath]\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1[/inlmath]. Ja ne bih da ucim ovu formulu napamet (jedino ako bas moram) pa me interesuje da li ima neki elegantniji nacin da se resi ovaj zadatak.
Centar ove elipse se nalazi u koordinatnom pocetku, pa mogu napisati jednacinu prave koja prolazi kroz koordinatni pocetak i kroz tacku [inlmath]A[/inlmath]. Potom odredim njen koeficijent pravca, a odatle odredim koeficijent pravca jednacine tangente koja se trazi. Odsecak jednacine tangente na [inlmath]x[/inlmath]-osi ([inlmath]n[/inlmath]) sam nasao iz uslova da prava oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath] dodiruje elipsu oblika [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath]. Kad sve ovo izracunam i sredim ne dobijem ni blizu resenje kao u zbirci, pa me interesuje gde je greska u mom postupku.
Ovako sam radio i kada sam odredjivao jednacinu tangente kruga kroz tacku [inlmath]N(x,y)[/inlmath] i sve je bilo OK.

Pogledaj ovo. Lepo je objašnjeno kako se izvodi uslov dodira i (barem meni) je mnogo lakše i logičnije da radim ovako nego da pamtim "gotove" formule.

Da lepo je objašnjeno, ali meni treba da ta tangenta sadrzi datu tačku na elispi. Ako se ne varam izvodjenje te formule nema u linku koji si naveo.

Nema izvođenje za tangentu, ali ja bih iskoristio poslednju jednačinu u delu koji se odnosi na elipsu. Imamo jednačinu elipse, pa odatle znamo [inlmath]a^2[/inlmath] i [inlmath]b^2[/inlmath]. Iz uslova dodira možemo da napišemo:
[dispmath]12+16k^2=n^2[/dispmath] Takođe, iz opšteg oblika jednačine prave možemo da napišemo
[dispmath]-3=2k+n[/dispmath] Sad imamo sistem dve jednačine dve nepoznate sa kojim ne bi trebalo da bude problema. Ovo nije direktno izvodjenje formule za tangentu, ali je, po meni, prilično upotrebljivo za ovakve zadatke.

miletrans je napisao:Takođe, iz opšteg oblika jednačine prave možemo da napišemo
[dispmath]-3=2k+n[/dispmath]

Ovaj deo mi nije jasan.

Razumeo sam ovo, koristio si jednačinu prave oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath]. Nije mi jasno koja je razlika izmedju ove jednačine prave i jednačine oblika [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath]?
Nadam se da nisam otišao predaleko od teme ovog posta.

Sada ja nisam siguran da sam razumeo tvoje pitanje. Kao što si i sam rekao, opšti oblik jednačine prave je
[dispmath]y=kx+n[/dispmath] ako znamo da nam prava prolazi kroz tačku koja ima koordinate [inlmath](x_1,y_1)[/inlmath] onda, naravno, i ta tačka mora da zadovolji jednačinu prave, pa možemo da zapišemo:
[dispmath]y_1=kx_1+n[/dispmath] Sada ako oduzmemo drugu jednačinu od prve dobijamo ovaj oblik koji si ti napisao.

Frank je napisao:Centar ove elipse se nalazi u koordinatnom pocetku, pa mogu napisati jednacinu prave koja prolazi kroz koordinatni pocetak i kroz tacku [inlmath]A[/inlmath]. Potom odredim njen koeficijent pravca, a odatle odredim koeficijent pravca jednacine tangente koja se trazi. Odsecak jednacine tangente na [inlmath]x[/inlmath]-osi ([inlmath]n[/inlmath]) sam nasao iz uslova da prava oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath] dodiruje elipsu oblika [inlmath]\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1[/inlmath]. Kad sve ovo izracunam i sredim ne dobijem ni blizu resenje kao u zbirci,

Gde je greška u ovom postupku, tj. da li moze ovako da se radi?

Na neki način si sam sebi odgovorio na pitanje. Ovako ne može da se radi. Pretpostavljam da si odredio jednačinu prave koja spaja koordinatni početak, pa si iz njenog koeficijenta (obeležimo ga sa [inlmath]k_1[/inlmath]) odredio koeficijent "tangente" kao [inlmath]k_2=-\frac{1}{k_1}[/inlmath]? Da je u pitanju bila kružnica, moglo bi tako da se radi i dobio bi tačno rešenje. Kod kružnice tangenta i dodirni poluprečnik jesu pod pravim uglom, ali kod elipse nisu (ostavljamo sad po strani šta bi značio "poluprečnik elipse"). Kružnicu možemo da posmatramo kao specijalan slučaj elipse kod koga je [inlmath]a^2=b^2=R^2[/inlmath]. Zato će sve ono što važi za elipsu važiti za kružnicu, ali sve ono što važi za kružnicu neće važiti za elipsu.

Frank je napisao:Ovaj zadatak mogu jednostavno uraditi primenom formule [inlmath]\frac{xx_1}{a^2}+\frac{yy_1}{b^2}=1[/inlmath]. Ja ne bih da ucim ovu formulu napamet (jedino ako bas moram)

Ova formula je baš laka za pamćenje ako znaš opšti oblik jednačine elipse, koji glasi [inlmath]\frac{x\cdot x}{a^2}+\frac{y\cdot y}{b^2}=1[/inlmath] (da, [inlmath]x^2[/inlmath] sam napisao kao [inlmath]x\cdot x[/inlmath], a [inlmath]y^2[/inlmath] kao [inlmath]y\cdot y[/inlmath]), i samo onda jedno [inlmath]x[/inlmath] zameniš sa [inlmath]x_1[/inlmath], a jedno [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]y_1[/inlmath].

Frank je napisao:Kad sve ovo izracunam i sredim ne dobijem ni blizu resenje kao u zbirci,

Ljudi, uvek napišite rešenje iz zbirke kad ga već imate, zbog čega vam je to tako teško?

Frank je napisao:koristio si jednačinu prave oblika [inlmath]y=kx+n[/inlmath]. Nije mi jasno koja je razlika izmedju ove jednačine prave i jednačine oblika [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath]?

Prvu uvek možeš napisati kad su ti poznati koeficijent pravca [inlmath]k[/inlmath] i presek s [inlmath]y[/inlmath]-osom, a drugu kada su ti poznate koordinate neke tačke na toj pravoj.
U ovom drugom obliku možeš primetiti opet ono pravilo koje sam ti pomenuo u ovom postu, da kada je kriva pomerena iz svog osnovnog položaja za [inlmath]x_1[/inlmath] po [inlmath]x[/inlmath]-osi i za [inlmath]y_1[/inlmath] po [inlmath]y[/inlmath]-osi, tada u njenu osnovnu jednačinu umesto [inlmath]x[/inlmath] pišemo [inlmath]x-x_1[/inlmath] i umesto [inlmath]y[/inlmath] pišemo [inlmath]y_1[/inlmath]. Zaista, i ovde bi [inlmath]y=kx[/inlmath] bila jednačina prave koja prolazi kroz koordinatni početak, a kada tu pravu transliramo tako da prolazi kroz tačku [inlmath](x_1,y_1)[/inlmath], tada u jednačinu [inlmath]x[/inlmath] zamenimo sa [inlmath]x-x_1[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] sa [inlmath]y-y_1[/inlmath] i dobijemo upravo [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath]. Zgodna pravilnost.

---

Pokazaću još par načina da se uradi ovaj zadatak. Jedan je da iskoristiš to da je koeficijent pravca tangente u nekoj tački krive jednak izvodu krive u toj tački. Iz [inlmath]\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{12}=1[/inlmath] možemo izraziti [inlmath]y[/inlmath] kao [inlmath]y=\pm\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{16-x^2}[/inlmath]. Pošto mi posmatramo deo elipse koji se nalazi u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu (jer je zadata tačka čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata pozitivna a [inlmath]y[/inlmath]-koordinata negativna), a u [inlmath]IV[/inlmath] kvadrantu su vrednosti [inlmath]y[/inlmath] negativne, za [inlmath]y[/inlmath] uzimamo negativnu vrednost: [inlmath]y=-\frac{\sqrt3}{2}\sqrt{16-x^2}[/inlmath]. Nađemo izvod, koji iznosi [inlmath]y'=\frac{\sqrt3}{2}\frac{x}{\sqrt{16-x^2}}[/inlmath], i u njega umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu zadate tačke. Vrednost koju dobijemo za izvod [inlmath]y'[/inlmath] biće zapravo vrednost koeficijenta pravca tangente na elipsu kroz zadatu tačku.

---

A drugi način bio bi da kroz zadatu tačku [inlmath]A(2,-3)[/inlmath] postavimo pravu [inlmath]y+3=k(x-2)[/inlmath], kojoj treba da odredimo [inlmath]k[/inlmath] tako da ta prava dodiruje elipsu. To jest, tako da sa elipsom ima tačno jednu zajedničku tačku (ako bi sekla elipsu imala bi s njom dve zajedničke tačke). Dakle, izrazimo [inlmath]y[/inlmath] iz [inlmath]y+3=k(x-2)[/inlmath], uvrstimo u jednačinu elipse, dobijemo kvadratnu [inlmath]\left(3+4k^2\right)x^2-8k(2k+3)x+4\left(4k^2+12k-3\right)=0[/inlmath], i kada ta kvadratna ima tačno jedno rešenje, to znači da elipsa i prava imaju tačno jednu zajedinčku tačku, tj. da se dodiruju. Prema tome, diskriminantu te kvadratne jednačine treba izjednačiti s nulom i odatle naći [inlmath]k[/inlmath] (nemoj da te isprepada jednačina četvrtog stepena koju ćeš dobiti, fino će se to pokratiti i ostaće kvadratna po [inlmath]k[/inlmath]).