MATEMANIJA

Odrediti jednačinu tangenti elipse [inlmath]3x^2+8y^2=45[/inlmath] takvih da je njihovo rastojanje od centra elipse jednako [inlmath]3[/inlmath]. Jednačine trazenih tangenti su [inlmath]\pm3x\pm4y+15=0[/inlmath].
Centar date elipse je u koordinatnom početku. Sve tačke koje su od koordinatnog početka udaljene [inlmath]3[/inlmath] pripadaju krugu [inlmath]x^2+y^2=9[/inlmath]. Potom sam odradio presečne tačke kruga i elipse i kroz njih povukao tangente na elipsu, ali ne dobijem tačno rešenje. Naprotiv, dobijem da su koordinate presečnih tački iracionalni brojevi, a samim tim i trazene jednačine...
Svaka pomoc bi dobro došla. Hvala!

Tvoj postupak za rešenje zadatka je dobar. Ako se traže tačke preseka kružnice i elipse, zaista se dobiju iracionalni brojevi, krajnje nezgodni za rad. Međutim, prave koje su navedene kao rešenja ne odgovaraju uslovu zadatka. Ovo možeš vrlo lako da proveriš ako odrediš tačke preseka bilo koje od ove četiri prave i zadate elipse. U tom slučaju se dobiju prilično "lepi" brojevi.

Izvinjavam se ako sam pogrešio u računu, pa bih zamolio još nekog da ovo potvrdi (ili obori).

Inače, zbog simetričnosti zadate elipse u odnosu na koordinatne ose, dovoljno je odrediti jednu presečnu tačku i jednačinu samo jedne tangente, pa posle samo menjati znak(e) da bi se odredile ostale tri.

Presečne tačke nemaju ništa s ovim zadatkom. One ne pripadaju traženoj tangenti elipse. To se može i videti sa slike (ako se malo bolje pogleda):


Međutim, sa slike se može uočiti da je tražena tangenta elipse istovremeno i tangenta kružnice [inlmath]x^2+y^2=9[/inlmath]. Prema tome, postavimo uslov dodira prave i kružnice, zatim uslov dodira prave i elipse, odakle dobijemo sistem dve jednačine s dve nepoznate, [inlmath]k[/inlmath] i [inlmath]n[/inlmath] tražene tangente...

Sa slike se sve stvarno sve jasno vidi, al' daj ti zamisli ovako preciznu sliku. I dalje mi nije jasno zašto tangenta, koju bih provukao kroz presečnu tačku kruznice i elipse, ne bi ispunjavala uslove iz teksta zadataka?

Ako bi tangenta elipse, pored tačke dodira s elipsom sadržala i tačku preseka kružnice i elipse, to znači da bi ta tangenta sadržala još jednu tačku elipse. A onda to nije tangenta, jer tangenta mora sadržati jednu i samo jednu tačku krive.

Da, ali ja sam mislio da tangenta elipse dodiruje elipsu samo u tački preseka kruznice i elipse. To je samo jedna tačka. Nadam se da me razumeš.

Misliš, ovako?


Tačka preseka kružnice i elipse biće na rastojanju [inlmath]3[/inlmath] od koordinatnog početka, ali to ne znači da će i sama tangenta kroz tu tačku biti na istom tom rastojanju od koordinatnog početka.
Uporedi rastojanja [inlmath]d[/inlmath] i [inlmath]d_1[/inlmath] sa slike.

E bas to. Sad je sve jasno. Hvala!