MATEMANIJA

U elipsu [inlmath]\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1[/inlmath] upisan je jednakostranični trougao čije je jedno teme tačka [inlmath]A(6,0)[/inlmath]. Naci koordinate ostala dva temena. Trazene tačke su [inlmath]B\left(\frac{6}{7},\frac{12\sqrt3}{7}\right)[/inlmath] i [inlmath]C\left(\frac{6}{7},-\frac{12\sqrt3}{7}\right)[/inlmath].
Neka su [inlmath]B(x_1,y_1)[/inlmath] i [inlmath]C(x_2,y_2)[/inlmath] trazene tačke. Kako one pripadaju datoj elipsi vazi [inlmath]\frac{x_1^2}{36}+\frac{y_1^2}{9}=1[/inlmath] i [inlmath]\frac{x_2^2}{36}+\frac{y_2^2}{9}=1[/inlmath]. Kako je trougao jednakostranični neophodno je postaviti sistem
[dispmath](x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=d^2[/dispmath][dispmath](x_1-6)^2+y_1^2=d^2[/dispmath][dispmath](x_2-6)^2+y_2^2=d^2[/dispmath] Sad sam ovaj sistem kombinovao sa gore navedenim jednačinama elipsa, ali to me nije dovelo do rešenja.

Za ovaj konkretni zadatak bih iskoristio činjenicu da se zadano teme [inlmath]A[/inlmath] nalazi na [inlmath]x[/inlmath] osi. Pošto je trougao jednakostraničan i upisan u elipsu, [inlmath]x[/inlmath] osa će biti u isto vreme i simetrala unutrašnjeg ugla kod temena [inlmath]A[/inlmath]. Odatle je lako odrediti koeficijent pravca ([inlmath]k[/inlmath]) prave koja sadrži temena [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], a iz koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath] možemo da odredimo i vrednost za [inlmath]n[/inlmath]. Vodi samo računa kada određuješ koeficijent pravca kako se određuje ugao sa [inlmath]x[/inlmath] osom i kog će znaka biti [inlmath]k[/inlmath]. Kada smo odredili jednačinu ove prave, treba još "samo" da odredimo njen presek sa elipsom i time dobijamo tačku [inlmath]B[/inlmath]. Pošto su i trougao i elipsa simetrični u odnosu na [inlmath]x[/inlmath] osu, tačke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] će imati iste [inlmath]x[/inlmath] koordinate, dok će im [inlmath]y[/inlmath] koordinate biti iste apsolutne vrednosti, ali suprotnog znaka.

U elipsu [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1[/inlmath] upisan je jednakostranicni trougao, cije jedno teme je [inlmath]A(6,0)[/inlmath]. Nadji ostale tacke trougla.

Kako trougao pripada elipsi [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1[/inlmath] probao sam da napravim sistem i dobijem trazene tacke, ali ocigledno nesto propustam. Tacke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath] su [inlmath]\displaystyle B\left(\frac{6}{7},\frac{12\sqrt3}{7}\right)[/inlmath], [inlmath]\displaystyle C\left(\frac{6}{7},-\frac{12\sqrt3}{7}\right)[/inlmath]

Dobro došao na forum!
Imali smo taj zadatak ovde.
Naravano, ako treba dodatno pojašnjenje, slobodno reci.

Treba mi i dodatno pojasnjenje

Za početak, da li znaš da napišeš jednačinu prave koja prolazi kroz tačku [inlmath]A[/inlmath] i sa pozitivnim delom [inlmath]x[/inlmath]-ose gradi ugao od [inlmath]150^\circ[/inlmath]?

Ako gradi ugao od [inlmath]150^\circ[/inlmath], onda nam je [inlmath]k=\text{arctg }150^\circ[/inlmath] tj. [inlmath]-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath] Pa možemo preko formule za jednačinu prave kroz jednu tačku dobiti da [inlmath]y=-\frac{\sqrt3}{3}x+2\sqrt3[/inlmath] Ako se ne varam.

Tako je. Koordinate tačke [inlmath]B[/inlmath] (pripada [inlmath]I[/inlmath] kvadrantu) ćeš dobiti rešavanjem sistema jednačina
[dispmath]y=-\frac{\sqrt3}{3}x+2\sqrt3\\
\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{9}=1[/dispmath] Budući da je elipsa u osnovnom položaju simetrična u odnosu na koordinate ose, [inlmath]x[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]C[/inlmath] će biti jednaka [inlmath]x[/inlmath]-koordinati tačke [inlmath]B[/inlmath], dok će [inlmath]y[/inlmath]-koordinata tačke [inlmath]C[/inlmath] biti simetrična, u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, [inlmath]y[/inlmath]-koordinati tačke [inlmath]B[/inlmath].

Sada mi je jasno, hvala na pomoći

ayrakith je napisao:Ako gradi ugao od [inlmath]150^\circ[/inlmath], onda nam je [inlmath]k={\color{red}\text{arctg }}150^\circ[/inlmath] tj. [inlmath]-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath]

[inlmath]k={\color{red}\text{tg }}150^\circ=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath]