MATEMANIJA

Naci jednačinu parabole ako je njen fokus [inlmath]F(7,2)[/inlmath], a direktrisa [inlmath]x=5[/inlmath]. Rešenje: [inlmath]x=\frac{1}{4}y^2-y+7[/inlmath].
Kako je [inlmath]x=5[/inlmath] sledi da je jednačina trazene parabole oblika [inlmath]y^2=2px[/inlmath], a koordinate fokusa parabole koja nije izmestena iz osnovnog polozaja su [inlmath]F_0(-5,0)[/inlmath]. Ako oduzmem koordinate tačaka [inlmath]F_1[/inlmath] i [inlmath]F_0[/inlmath] dobijam da je parabola pomerena, u odnosu na osnovni polozaj, za [inlmath]12[/inlmath] desno odnosno za [inlmath]2[/inlmath] prema gore. Prema tome jednačina parabole bi bila [inlmath](y-2)^2=-20(x-12)[/inlmath]. Buduci da ova jednačina nije ekvivalentna sa jednačinom iz rešenja, očigledno negde grešim, pa me interesuje gde? Hvala!

Frank je napisao:Kako je [inlmath]x=5[/inlmath] sledi da je jednačina trazene parabole oblika [inlmath]y^2=2px[/inlmath],

Ovde ti je greška. Iz podatka da je jednačina direktrise [inlmath]x=5[/inlmath] (tj. da je direktrisa „vertikalna“) sledi samo to da parabola nije zarotirana, ali ne mora značiti da nije translirana. Ovo što si napisao, [inlmath]y^2=2px[/inlmath], to je jednačina parabole koja je u osnovnom položaju, tj. koja nije ni translirana ni rotirana.
Za parabolu koja je translirana moramo pisati [inlmath](y-y_0)^2=2p(x-x_0)[/inlmath], gde su [inlmath]x_0[/inlmath] i [inlmath]y_0[/inlmath] pomeraji po [inlmath]x[/inlmath]-osi i po [inlmath]y[/inlmath]-osi, respektivno (da te podsetim da sam ti to i pisao u ovom i u ovom postu).
Pomeraj po [inlmath]y[/inlmath]-osi si ispravno odredio, sasvim je očigledno da je to [inlmath]y[/inlmath]-koordinata žiže (jer je u osnovnom položaju [inlmath]y[/inlmath]-koordinata žiže jednaka nuli).
Pomeraj po [inlmath]x[/inlmath]-osi mora biti jednak aritmetičkoj sredini [inlmath]x[/inlmath]-koordinate direktrise i [inlmath]x[/inlmath]-koordinate žiže (jer su u osnovnom položaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinate direktrise i žiže jednake po apsolutnoj vrednosti a suprotne po znaku – tj. direktrisa i žiža su na podjednakom rastojanju od [inlmath]y[/inlmath]-ose, a sa različite strane).
U osnovnom položaju razlika [inlmath]x[/inlmath]-koordinata žiže i direktrise jednaka je parametru [inlmath]p[/inlmath], i to se ne menja prilikom translacije (menjalo bi se pri rotaciji). Na osnovu toga odrediš i parametar [inlmath]p[/inlmath].

Evo da nastavim zadatak, da vidiš da li je dobro?
Koordinate temena u osnovnom polozaju su [inlmath]T(0,0)[/inlmath]. Kako je [inlmath]x=5[/inlmath], a fokus [inlmath]F(7,2)[/inlmath] sledi da teme izmestene parabole [inlmath]T_1(6,2)[/inlmath], a parametar [inlmath]p=7-5=2[/inlmath]. Iz ovoga sledi da je trazena jednačina [inlmath](y-2)^2=4(x-6)[/inlmath].

P. S. Imam dva dodatna pitanja. Buduci da su vezana uz ono što si mi vec rekao u ovoj temi, nisam otvorio novu temu.
Da li je pomeraj parabole iz osnovnog polozaja jednak pomeraju ziza? Nije mi najjasnije zašto baš od koordinata ziza oduzimamo direktrisu da bi dobili parametar, tj. da li postoji neka logika?

Frank je napisao:Iz ovoga sledi da je trazena jednačina [inlmath](y-2)^2=4(x-6)[/inlmath].

U redu ti je postupak. I tačno kad ovaj oblik jednačine razviješ, dobićeš onaj oblik koji je napisan u rešenju.

Frank je napisao:Da li je pomeraj parabole iz osnovnog polozaja jednak pomeraju ziza?

Naravno da jeste, i to sledi iz definicije translatornog kretanja (kretanje pri kojem svaka tačka objekta ima isti pomeraj).

Frank je napisao:Nije mi najjasnije zašto baš od koordinata ziza oduzimamo direktrisu da bi dobili parametar, tj. da li postoji neka logika?

A kolika je razlika [inlmath]x[/inlmath]-koordinata direktrise i žiže u osnovnom položaju?
Prilikom translacije ta razlika [inlmath]x[/inlmath]-koordinata se ne menja.

Daniel je napisao:A kolika je razlika [inlmath]x[/inlmath]-koordinata direktrise i žiže u osnovnom položaju?

Evo, na primer, uzecu parabolu [inlmath]y^2=2px[/inlmath]. Parametar [inlmath]p[/inlmath] predstavlja rastojanje od zize do direktrise parabole pa iz toga sledi da je [inlmath]p>0[/inlmath]. U osnovnom polozaju [inlmath]y[/inlmath]-koordinata zize je pozitivna, a direktrise negativna (simetrična u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, pa da bi [inlmath]p[/inlmath] bilo vece od nule, potrebno je oduzeti [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu direktrise od [inlmath]y[/inlmath]-koordinate zize. S druge strane, ako je parabola okrenuta prema dole, onda [inlmath]p[/inlmath] mora biti manje od nule, a znamo da je rastojanje uvek pozitivno?

Frank je napisao:U osnovnom polozaju [inlmath]y[/inlmath]-koordinata zize je pozitivna, a direktrise negativna

Ne, u osnovnom položaju [inlmath]y[/inlmath]-koordinata žiže je nula, a pozitivna je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata žiže. Tačke na direktrisi imaju negativne [inlmath]x[/inlmath]-koordinate.

Parametar [inlmath]p[/inlmath] je pogrešno posmatrati kao rastojanje, jer, kako i sam kažeš, rastojanje ne može biti negativno, dok parametar [inlmath]p[/inlmath] može biti negativan (mada, može se reči da je apsolutna vrednost parametra [inlmath]p[/inlmath] jednaka rastojanju žiže od direktrise). Parametar [inlmath]p[/inlmath] je, ako je parabola u osnovnom ili transliranom položaju, jednak razlici [inlmath]x[/inlmath]-koordinate direktrise i [inlmath]x[/inlmath]-koordinate žiže (znači, [inlmath]x[/inlmath]-koordinata žiže minus [inlmath]x[/inlmath]-koordinata direktrise). Ako je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata žiže veća od [inlmath]x[/inlmath]-koordinate direktrise (tj. ako je direktrisa levo a žiža desno), tada je [inlmath]p>0[/inlmath], a u suprotnom, ako je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata žiže manja od [inlmath]x[/inlmath]-koordinate direktrise (tj. ako je žiža levo a direktrisa desno), tada je [inlmath]p<0[/inlmath].