MATEMANIJA

Date su tačke [inlmath]A\left(-\frac{17}{2},0\right),B(2,0),C(-1,0)[/inlmath]. Odrediti na pravoj [inlmath]y=x-3[/inlmath] tačku [inlmath]D[/inlmath] iz koje se duzi [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] vide pod istim uglom.
Resenje: Koordinate trazene tačke su [inlmath]D(7,4)[/inlmath] ili [inlmath]D(0,-3)[/inlmath].
Prvo sam napisao jednačinu prave koja prolazi kroz tačku [inlmath]A[/inlmath], a potom odredio, u zavisnosti od koeficijenta pravca, [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu tacke preseka ove prave sa pravom [inlmath]y=x-3[/inlmath]. Analogno i za tacke [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Kako se duzi [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]CB[/inlmath] vide pod istim uglom sledi
[dispmath]\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|=\left|\frac{k_2-k_3}{1+k_2k_3}\right|[/dispmath] Kad zamenim i malo sredim dodjem do koraka
[dispmath]\left|\frac{45-15x}{4x^2+7x+35}\right|=\left|\frac{9-3x}{2x^2-7x+7}\right|[/dispmath] Sad ovu jednačinu mogu da resim kvadriranjem obe strane ili postavljanjem uslova, ali oba nacina mi se cine predugacka, pa me zanima da li neko ima ideju kako ovo privesti kraju. Verujem da do ovog koraka nema greski jer ako ubacim podatke iz resenja, sve se uklapa.
Meni je jedino ovaj način pao na pamet, ali svakako ne bi bilo na odmet znati i na neki drugi. Ako neko zna...

Ako pod "postavljanjem uslova" smatraš analizu kada su ovi razlomci veći ili jednaki od nule (kada samo skidamo apsolutne vrednosti), a kada su manji (kada menjamo znak), mislim da je upravo to najjednostavniji način. Uočavamo da oba brojioca sadrže faktor [inlmath](3-x)[/inlmath]. Taj faktor ćemo za sada skratiti, a posebno ćemo da analiziramo slučaj [inlmath]x=3[/inlmath] (tada ne sme da se krati).

Sada gledamo imenioce. U oba slučaja koeficijent uz član [inlmath]x^2[/inlmath] je pozitivan, a diskriminanta je manja od nule (znamo šta to znači), pa (uz prethodno skraćivanje brojilaca) možemo samo da "skinemo" apsolutne vrednosti, i sve se rešava vrlo jednostavno, bez kvadriranja.

Da se vratim na slučaj [inlmath]x=3[/inlmath]. Oba brojioca su jednaka nuli, oba imenioca su različita od nule (oba razlomka su definisana), pa je i jednakost ispunjena. Na prvi pogled i tačka [inlmath]D_3(3,0)[/inlmath] bi bilo rešenje zadatka. Ali, ako bolje pogledamo, vidimo da su sve četiri tačke na [inlmath]x[/inlmath] osi i da tačka [inlmath]D_3[/inlmath] ima najveću vrednost [inlmath]x[/inlmath] koordinate ([inlmath]D_3[/inlmath] je "najviše desno"). Sad to može da otvori prostor za diskusiju oko sledeće izjave: "Iz tačke [inlmath]D_3[/inlmath] se obe navedene duži vide pod uglom od nula stepeni, pa je i tačka [inlmath]D_3[/inlmath] rešenje ovog zadatka.". Po meni, ova izjava je tačna. Izvinjavam se unapred ako grešim, "razmišljam naglas".

miletrans je napisao:Sad to može da otvori prostor za diskusiju oko sledeće izjave: "Iz tačke [inlmath]D_3[/inlmath] se obe navedene duži vide pod uglom od nula stepeni, pa je i tačka [inlmath]D_3[/inlmath] rešenje ovog zadatka.". Po meni, ova izjava je tačna.

I po meni.

Kada je [inlmath]x=3[/inlmath] tada razlomci nisu definisani, pa zbog toga ne smemo da kratimo? Ove uslove da su razlomci definisani treba postaviti na početku, a onda neposrednom proverom proveriti da li mozda neko od rešenja koje smo odbacili dolazi u obzir kao rešenje zadatka?

miletrans je napisao: Uočavamo da oba brojioca sadrže faktor [inlmath](3-x)[/inlmath]. Taj faktor ćemo za sada skratiti, a posebno ćemo da analiziramo slučaj [inlmath]x=3[/inlmath] (tada ne sme da se krati).

Zar brojioci oba razlomka ne sadrze [inlmath]|3-x|[/inlmath], pa je potrebno posebno proveriti slučajeve za [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=-3?[/inlmath]

Zašto razlomci ne bi bili definisani za [inlmath]x=3[/inlmath]? Jednakost bi tada glasila [inlmath]\frac {0}{92}=\frac {0}{4}[/inlmath], odnosno [inlmath]0=0[/inlmath]. Pošto je jednakost tačna, [inlmath]x=3[/inlmath] je jedno od rešenja ove jednačine. Ono što moramo da proverimo je da neki razlomak nema oblik [inlmath]\frac {0}{0}[/inlmath]. Ali nema nikakvih problema oko definisanosti ako je samo brojilac jednak nuli.

Što se tiče [inlmath]x=-3[/inlmath], ta vrednost ni na koji način nije sporna. Član [inlmath](x-3)[/inlmath] u brojiocima bi u tom slučaju bio jednak [inlmath]6[/inlmath], oba imenioca bi bili različiti od nule, pa bi oba razlomka imala oblik "neki broj kroz neki broj".

Frank je napisao:Zar brojioci oba razlomka ne sadrze [inlmath]|3-x|[/inlmath], pa je potrebno posebno proveriti slučajeve za [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=-3?[/inlmath]

Verovatno si hteo da napišeš za [inlmath]x<3[/inlmath] i [inlmath]x>3[/inlmath].

Upravo zbog toga što oba razlomka sadrže [inlmath]|3-x|[/inlmath], moguće je (naravno uz uslov [inlmath]x\ne3[/inlmath]) skratiti [inlmath]|3-x|[/inlmath] na levoj i [inlmath]|3-x|[/inlmath] na desnoj strani, te vrednosti su jednake nezavisno od toga da li je [inlmath]x<3[/inlmath] ili [inlmath]x>3[/inlmath], zar ne?

miletrans je napisao:Zašto razlomci ne bi bili definisani za [inlmath]x=3[/inlmath]?

Permutovao sam brojilac i imenilac (nisam imao zadatak ispred sebe), ali mislio sam na sledece:
Razlomci koji se dobiju na samom početku zadatka mi predstavljaju problem. Evo, na primer, uzecu jednačinu prave koja prolazi kroz tačku [inlmath]B(2,0)[/inlmath]. Ona glasi [inlmath]y=k_2(x-2)[/inlmath] i sad odredim [inlmath]k[/inlmath] u zavisnosti od [inlmath]x[/inlmath]-koordinate tačke preseka sa pravom [inlmath]y=x-3[/inlmath]. Posto su leve strane jednake izjednačim i desne, nakon čega dobijam da je [inlmath]k_2=\frac{x-3}{x-2}[/inlmath]. Razlomak je definisan ako je [inlmath]k_2\ne2[/inlmath], pa moram tačku [inlmath]H(2,-1)[/inlmath] posebno proveriti (da li zadovoljava sve uslove koji se traze iz postavke zadatka), ali nzm kako to da uradim.

Daniel je napisao:

Frank je napisao:Zar brojioci oba razlomka ne sadrze [inlmath]|3-x|[/inlmath], pa je potrebno posebno proveriti slučajeve za [inlmath]x=3[/inlmath] i [inlmath]x=-3?[/inlmath]

Verovatno si hteo da napišeš za [inlmath]x<3[/inlmath] i [inlmath]x>3[/inlmath].

Mislio sam da je za [inlmath]x=-3[/inlmath] vrednost [inlmath]|3-x|[/inlmath] jednaka [inlmath]0[/inlmath]. Vrednost [inlmath]x=-3[/inlmath] otpada zbog uslova da je [inlmath]3-x<0[/inlmath]. Da je [inlmath]|3-x|\ne0[/inlmath] za [inlmath]x=-3[/inlmath] možemo se uveriti i neposrednom proverom.

Umesto direktnog odgovora na tvoje pitanje, napomenuo bih ti da je vrednost [inlmath]k[/inlmath] zapravo jednaka tangensu ugla koji prava zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath] osom. Ako je vrednost tangensa beskonačna, znači da je prava pod uglom od [inlmath]90^\circ[/inlmath] (ili [inlmath]\frac{\pi}{2}[/inlmath]), odnosno da je vertikalna. Ako obratiš pažnju na svoj primer, videćeš da tačke [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]H[/inlmath] imaju jednake [inlmath]x[/inlmath] koordinate, što znači da će prava provučena kroz te dve tačke biti vertikalna (paralelna [inlmath]y[/inlmath] osi).

Da se vratim na svoj prvi odgovor na "spornu" tačku [inlmath]D_3(3,0)[/inlmath]. Ovo bi bio drugi granični slučaj, kada su sve posmatrane tačke na pravoj koja je paralelna [inlmath]x[/inlmath] osi ([inlmath]k=0[/inlmath]). Tada moramo da analiziramo raspored tačaka. U našem slučaju je (sa leva na desno) raspored [inlmath]A-C-B-D_3[/inlmath], pa bi tačka [inlmath]D_3[/inlmath] pripadala rešenjima. Slična situacija bi bila u slučaju rasporeda [inlmath]D_3-A-C-B[/inlmath]. Ali, ako bi raspored bio [inlmath]A-B-D_3-C[/inlmath], tada tačka [inlmath]D_3[/inlmath] ne bi bila rešenje ovog zadatka.

Zao mi je sto vas zatrakujem sa pitanjima u vezi definisanosti razlomaka, al' sta da radim kad mi nije jasno. Zašto ne postavljamo uslov da je ceo razlomak [inlmath]k_2=\frac{x-3}{x-2}[/inlmath] različit od nule, jer se on posle nadje u imeniocu dvojnog razlomka (kada ubacimo u formulu [inlmath]\tan\phi=\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1k_2}\right|[/inlmath])?

Paaa.... Sad mi nije baš najjasnije zašto [inlmath]k_2[/inlmath] ne bi smelo da bude nula? U tom slučaju bi jednačina za tangens ugla između dve prave postala:
[dispmath]\tan\phi=\left|\frac{k_1-0}{1+k_1\cdot0}\right|=\left|\frac{k_1}{1}\right|[/dispmath] Opet nema ništa sporno. Tangens ugla između dve prave bio bi jednak tangensu ugla između "prve" prave i [inlmath]x[/inlmath] ose. Ovo je i logično pošto bi "druga" prava bila paralelna sa [inlmath]x[/inlmath] osom. (Ovde su "prva" i "druga" prava one prave čiji su koeficijenti pravca obeleženi sa, redom, [inlmath]k_1[/inlmath] i [inlmath]k_2[/inlmath]).

Čak i u slučaju da je [inlmath]k_1=k_2=0[/inlmath], razlomak za određivanje tangensa bi bio definisan, a tangens bi bio jednak nuli [inlmath]\left(\tan\phi=\frac{0}{1}=0\right)[/inlmath]. "Prevedeno" u vizuelni "domen", to bi značilo da su obe posmatrane prave paralelne i međusobno i sa [inlmath]x[/inlmath] osom.

Hvala obojici! Razumeo sam ono što sam vas pitao, ali ostala mi je jos jedna nejasnoca - kako da proverim da li se duzi [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] vide pod istim uglom iz tačaka [inlmath]H,H_1,H_2[/inlmath] ([inlmath]H[/inlmath] - presečna tačka prave [inlmath]y=x-3[/inlmath] i prave koja je paralelna [inlmath]y[/inlmath]-osi i i prolazi kroz tačku [inlmath]B[/inlmath]. Analogno i za [inlmath]H_1,H_2[/inlmath]). Da odredjujem koeficijente pravca, pa da primenim formulu... previše posla. Da je u pitanju prav ugao, onda bih lako mogao zaključiti da tačke [inlmath]H,H_1,H_2[/inlmath] otpadaju kao moguca rešenja, ali ovako...

Ako sam dobro shvatio, to sada pitaš šta će se desiti ako je [inlmath]k_1=\infty[/inlmath] (i analogno za [inlmath]k_2[/inlmath] i [inlmath]k_3[/inlmath])?

Vratio bih se na tvoj prvi post. Pravilno si izrazio zavisnost koeficijenata pravaca [inlmath]k_1[/inlmath], [inlmath]k_2[/inlmath] i [inlmath]k_3[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath] koordinata svih presečnih tačaka sa pravom [inlmath]y=x-3[/inlmath]. I onda si pravilno napisao jednakost koja je uslov da se duži vide pod istim uglom u zavisnosti od koeficijenata pravaca. Onda si svaki koeficijent pravca izrazio preko [inlmath]x[/inlmath] koordinata presečnih tačaka. Time si dobio jednačinu u kojoj figuriše samo [inlmath]x[/inlmath] (jedna napoznata) umesto jednačine u kojoj figurišu [inlmath]k_1[/inlmath], [inlmath]k_2[/inlmath] i [inlmath]k_3[/inlmath] (tri nepoznate). I kada rešiš tu jednačinu (od koje je cela tema i krenula), dobijaš [inlmath]x[/inlmath] koordinate svih tačaka na pravoj [inlmath]y=x-3[/inlmath] iz kojih se navedene duži vide pod istim uglom. U tom koraku ti rešavaš jednačinu u kojoj ti je nepoznata koordinata [inlmath]x[/inlmath], a ne koeficijent [inlmath]k_1[/inlmath]. Nema nigde nikakvih "dodatnih" ili "sakrivenih" tačaka.