MATEMANIJA

Odrediti jednačinu kružnice koja sadrži presečne tačke kružnica [inlmath]x^2+y^2=65[/inlmath] i [inlmath]x^2+y^2+8x-9=0[/inlmath], a središte joj pripada pravoj [inlmath]x=-3[/inlmath].

Hvala unapred.

Prvo odredimo presečne tačke ovih dveju zadatih kružnica. Od jednačine jedne kružnice oduzmimo jednačinu druge:[dispmath]8x-9=-65[/dispmath][dispmath]x=-7[/dispmath]pa to uvrstimo u jednačinu jedne od te dve kružnice:[dispmath]\left(-7\right)^2+y^2=65[/dispmath][dispmath]y^2=16[/dispmath][dispmath]y=\pm 4[/dispmath]Znači, presečne tačke su [inlmath]\left(-7,-4\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(-7,4\right)[/inlmath]. Njih treba da sadrži tražena kružnica.

Jednačina tražene kružnice je oblika[dispmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/dispmath]a pošto njeno središte pripada pravoj [inlmath]x=-3[/inlmath], to znači da će [inlmath]x[/inlmath]-koordinata njenog središta biti [inlmath]p=-3[/inlmath], pa to uvrstimo u njenu jednačinu:[dispmath]\left(x+3\right)^2+\left(y-q\right)^2=r^2[/dispmath]Sada koordinate obe malopre dobijene presečne tačke uvrstimo u ovu jednačinu:[dispmath]\left.\begin{array}{ll}
\left(-7+3\right)^2+\left(-4-q\right)^2=r^2 \\
\left(-7+3\right)^2+\left(4-q\right)^2=r^2
\end{array}\right\}[/dispmath][dispmath]\left.\begin{array}{ll}
16+\left(-4-q\right)^2=r^2 \\
16+\left(4-q\right)^2=r^2
\end{array}\right\}[/dispmath]ćime smo dobili sistem od dve jednačine po dve nepoznate, [inlmath]q[/inlmath] i [inlmath]r[/inlmath]. Od prve jednačine oduzmemo drugu:[dispmath]\left(-4-q\right)^2-\left(4-q\right)^2=0[/dispmath][dispmath]\cancel{16}+8q+\cancel{q^2}-\cancel{16}+8q-\cancel{q^2}=0[/dispmath][dispmath]q=0[/dispmath]Uvrštavanjem [inlmath]q=0[/inlmath] u neku od dve jednačine sistema, dobijamo vrednost za [inlmath]r[/inlmath]:[dispmath]16+\left(4-0\right)^2=r^2[/dispmath][dispmath]r^2=32[/dispmath]pa je konačna jednačina tražene kružnice[dispmath]\underline{\left(x+3\right)^2+y^2=32}[/dispmath]

Hvala puno!