MATEMANIJA

Konstruisana je tetiva koja sadrži tačku [inlmath]A(-1,y)[/inlmath] kružnice
[dispmath]x^2+y^2-2x+6y+5=0[/dispmath] i paralelna je sa pravom
[dispmath]x-3y+7=0[/dispmath] Odrediti njenu drugu presječnu tačku [inlmath]B[/inlmath] sa kružnicom i dužinu duži [inlmath]│AB│[/inlmath].

Odredim da je [inlmath]p=1[/inlmath] i [inlmath]q=-3[/inlmath], [inlmath]r^2=5[/inlmath]
Zatim pravu svedem na
[dispmath]y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}[/dispmath] Odavde imam da je
[dispmath]k=\frac{1}{3}[/dispmath] Dalje ne znam kako bih nastavila. Imam još jedan sličan zadatak ovome mislim da bih ga lako riješila da prvo ovaj uspijem.

Pošto tačka [inlmath]A(-1,y)[/inlmath] pripada kružnici čija ti je jednačina poznata, lako možeš izračunati [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu tačke [inlmath]A[/inlmath]. Imas koeficijent prave i jednu tačku kroz koju ona prolazi pa možeš napisati jednačinu prave. Ostalo ti je još da rešiš sistem od dve jednačine sa dve nepoznate. Kada nadjes koordinate tačke [inlmath]B[/inlmath] dužina duži [inlmath]AB[/inlmath] ti neće predstavljati problem.
P. S. Pošto u jednačini kružnice figuriše kvadratni član dobićeš dve različite [inlmath]y[/inlmath]-koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath].

Uvrstila sam [inlmath]x=-1[/inlmath] u jednačinu kružnice i dobila [inlmath]y_1=-4[/inlmath], [inlmath]y_2=-4[/inlmath]. Preko koje formule dolazim do sistema? [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath] ove? Nije mi još sasvim jasno kako da dođem do [inlmath]B[/inlmath]. Izračunavanje dužine duži neće biti problem. Hvala unaprijed.

malaksala je napisao:Preko koje formule dolazim do sistema? [inlmath]y-y_1=k(x-x_1)[/inlmath] ove?

Baš te. Kad uvrstiš [inlmath]k,x_1,y_1[/inlmath] (ovi podaci su ti poznati) dobićeš jednačinu prave koja predstavlja prvu jednačinu sistema. Drugu jednačinu sistema predstavlja jednačina kružnice.
Treba da dobiješ [inlmath]y_2=-2[/inlmath], pretpostavljam da je greška u kucanju.

Jeste, sad sam shvatila. Hvala!

Mislim da je i ovo greška u kucanju, al' za svaki slučaj da napomenem:

malaksala je napisao:Zatim pravu svedem na
[dispmath]y=\frac{1}{3}x-\frac{7}{3}[/dispmath]

Treba [inlmath]y=\frac{1}{3}x{\color{red}+}\frac{7}{3}[/inlmath].

Izgleda da sam požurila sa pomisli da sam razumjela zadatak ili sam jednostavno umorna jer vježbam pa skoro cijeli dan.
Jeste ono su bile greške pri kucanju imam
[dispmath]y=\frac{1}{3}x+\frac{7}{3}[/dispmath] Uvrštavanjem [inlmath]x=-1[/inlmath] u jednačinu kružnice dobijam [inlmath]y_1=-4[/inlmath] i [inlmath]y_2=-1[/inlmath]. Zatim uvrštavam oba [inlmath]y[/inlmath] posebno u jednačinu prave dobijem
[dispmath]y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}[/dispmath][dispmath]y=\frac{1}{3}x-\frac{5}{3}[/dispmath] Onda sam prvu jednačinu dovela u sistem sa jednačinom kružnice i dobila [inlmath]x_1=-1[/inlmath] i [inlmath]x_2=\frac{16}{5}[/inlmath] Trebam li sada uraditi sistem i sa drugom? Ne mogu valjda imati po 2 tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]?

malaksala je napisao:Trebam li sada uraditi sistem i sa drugom? Ne mogu valjda imati po 2 tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]?

Treba. Mozes imati po dve tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath], zašto ne bi mogla.
Opet imas grešku kod [inlmath]y_2[/inlmath], pa samim tim ni jednačina prave nije dobra. Pokušaj da dovršiš zadatak sama, ali ako baš ne budeš mogla, napisaće ti neko detaljan postupak.

malaksala je napisao:Ne mogu valjda imati po 2 tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]?

Da, imaćeš dva rešenja kako za tačku [inlmath]A[/inlmath], tako i za tačku [inlmath]B[/inlmath]. To ti je Frank već i napomenuo ovde, promaklo ti je:

Frank je napisao:P. S. Pošto u jednačini kružnice figuriše kvadratni član dobićeš dve različite [inlmath]y[/inlmath]-koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath].

---

Frank je napisao:Opet imas grešku kod [inlmath]y_2[/inlmath], pa samim tim ni jednačina prave nije dobra.

Dobre su obe jednačine prave, a ono za [inlmath]y_2[/inlmath] je već po drugi put greška u kucanju.

Malo sam odmorila i vježbala drugi predmet za prijemni i sad se vratila na matematiku i ovaj zadatak. Da li bi neko možda mogao samo da mi napiše konačno rješenje (ne postupak pokušavam sama uraditi) da bih znala je li dobro radim?

Jedno rešenje si faktički već dobila, to je [inlmath]A(-1,-4)[/inlmath] i [inlmath]B\left(\frac{16}{5},y_B\right)[/inlmath]. (Nakon uvrštavanja [inlmath]x_B=\frac{16}{5}[/inlmath] u jednačinu prave [inlmath]y=\frac{1}{3}x-\frac{11}{3}[/inlmath] dobićeš i [inlmath]y_B=-\frac{13}{5}[/inlmath].)

Drugo rešenje je [inlmath]A(-1,-2)[/inlmath] i [inlmath]B(2,-1)[/inlmath].

Uspjela sam uraditi i shvatila sam postupak. Hvala mnogo!