malaksala je napisao:Može još malo pojašnjenja nisam baš sasvim sigurna kako da pristupim ovom sistemu.
Iz jednačine kružnice može se zaključiti da tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] pripada kružnici. Takođe, i iz jednačine prave može se zaključiti da tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] pripada pravoj. Prema tome, tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] je jedna od dve presečne tačke kružnice i prave, tj. [inlmath]x_A=0[/inlmath] i [inlmath]y_A=0[/inlmath] (ovo je čak i odmah vidljivo čim se situacija skicira – zbog toga je prvo i osnovno kod ovakvog tipa zadatka
uvek nacrtati skicu). Ovaj podatak znatno pojednostavljuje rešavanje sistema.
Frank je napisao:[dispmath]d^2=r^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\
d=2^2-\left(\sqrt3\right)^2=1[/dispmath]
I, nakon toga – ništa više nije potrebno računati kako bismo odredili [inlmath]k[/inlmath], već samo posmatrati sliku.
Pošto jedna od kateta i hipotenuza pravouglog trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] stoje u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath], jasno je koji je to pravougli trougao – to je polovina jednakostraničnog trougla. Prema tome, ugao [inlmath]\angle CAD[/inlmath] jednak je [inlmath]30^\circ[/inlmath], a to je ujedno i ugao koji prava [inlmath]p[/inlmath] zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom. A pošto koeficijent pravca prave [inlmath]p[/inlmath] predstavlja tangens ugla koji ta prava zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom, jasno je da je [inlmath]k=\text{tg }30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath].
Naravno, takođe važi i [inlmath]k=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], što bi odgovaralo slučaju koji je ovome na slici simetričan u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu.
Sad se lako odrede i koordinate druge presečne tačke [inlmath]B[/inlmath].
Nešto sličan način ovome bio bi da, nakon što smo uočili da je poluprečnik kružnice jednak [inlmath]2[/inlmath] i da je tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] zajednička tačka kružnice i prave,
- kruznica i prava 1.png (574 Bajta) Pogledano 757 puta
sada nekako pokušamo da povežemo dužinu poluprečnika kružnice ([inlmath]2[/inlmath]) i dužinu tražene tetive ([inlmath]2\sqrt3[/inlmath]). Čim vidimo ovo [inlmath]\sqrt3[/inlmath] odmah nam se nekako nameće jednakostraničan trougao. Pa, da vidimo – ako bi poluprečnik ([inlmath]2[/inlmath]) bio stranica jednakostraničnog trougla,
- kruznica i prava 2.png (707 Bajta) Pogledano 757 puta
tada bi visina tog trougla bila [inlmath]\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3[/inlmath]. Pošto je naša tetiva dvaput veće dužine, znači da visinu treba produžiti za još toliko kako bismo dobili tetivu. I, zaista:
- kruznica i prava 3.png (1012 Bajta) Pogledano 757 puta
Preko podudarnosti trouglova, kao što je Frank pomenuo, može se dokazati da će dužina cele tetive biti jednaka visini jednakostraničnog trougla pomnožene sa [inlmath]2[/inlmath], tj. biće jednaka [inlmath]2\sqrt3[/inlmath], koliko je i zadato.
Pošto na slici tetiva deli ugao jednakostraničnog trougla (koji je, naravno, [inlmath]60^\circ[/inlmath]) na dva jednaka ugla, to znači da je ugao koji tetiva zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom jednak [inlmath]30^\circ[/inlmath], pa je njen koeficijent pravca jednak [inlmath]k=\text{tg }30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath].
Naravno, zbog isto tako mogućeg simetričnog slučaja u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, važiće i [inlmath]k=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath] kao drugo rešenje.
Sada nije problem odrediti ni drugu presečnu tačku kružnice i prave.