Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod malaksala » Utorak, 23. Jun 2020, 16:35

Zadatak: Prava [inlmath]y=kx[/inlmath] siječe kružnicu [inlmath](x-2)^2+y^2=4[/inlmath] u tačkama [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath]. Odrediti koordinate tih tačaka i parametar [inlmath]k[/inlmath] ako je [inlmath]|AB|=2\sqrt3[/inlmath].

Odredim [inlmath]C(2,0)[/inlmath] odnosno [inlmath]p=2[/inlmath], [inlmath]q=0[/inlmath] i [inlmath]r=2[/inlmath]. I ne znam kako bih počela. Ako može uputstvo kako da započnem ili možda samo konačan rezultat da prekontrolišem rad.
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +1

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod primus » Utorak, 23. Jun 2020, 17:07

Reši sistem:
[dispmath]\begin{cases}
\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}=2\sqrt3\\
y_A=kx_A\\
y_B=kx_B\\
(x_A-2)^2+y_A^2=4\\
(x_B-2)^2+y_B^2=4
\end{cases}[/dispmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod malaksala » Sreda, 24. Jun 2020, 07:45

Može još malo pojašnjenja nisam baš sasvim sigurna kako da pristupim ovom sistemu. Da [inlmath]y_A=kx_A[/inlmath] i [inlmath]y_B=kx_B[/inlmath] uvrstim u prvu jednačinu i posljednje dvije pa onda uspostavim sistem sa prvom i ove dvije posljednje ili kako?
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod primus » Sreda, 24. Jun 2020, 07:57

Dobra ti je ideja.
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod malaksala » Sreda, 24. Jun 2020, 10:05

Pokušala sam tim uvrštavanjem i mislim da ja tu nešto dobro ne radim, da nisam shvatila. :kojik: :insane: Sređivanjem sam na kraju dobila jednačinu [inlmath]-x_1x_2\left(2+2k^2\right)+4(x_1+x_2)=12[/inlmath]
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta

  • +2

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod Frank » Sreda, 24. Jun 2020, 11:16

Priložio bih jos jedan način kako možemo uraditi zadatak.
Jednačinu prave [inlmath]y=kx[/inlmath] označićemo sa [inlmath]p[/inlmath]. Posmatrajmo sliku

Kruznica.png
Kruznica.png (7.38 KiB) Pogledano 766 puta

Sa slike se vidi da visina jendakokrakog trougla [inlmath]ABC[/inlmath] predstavlja udaljenost centra kružnice (tacke [inlmath]C[/inlmath]) od prave [inlmath]p[/inlmath]. Kod jednakokrakog trougla, visina povučena na osnovicu deli istu na dva jednaka dela (ovo se lako dokazuje preko podudarnosti trouglova). Udaljenost tačke [inlmath]C[/inlmath] od prave [inlmath]p[/inlmath] računamo koristeći Pitagorinu teoremu
[dispmath]d^2=r^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\
d=2^2-\left(\sqrt3\right)^2=1[/dispmath] Sad primenjujemo formulu za rastojanje tačke od prave. U opstem obliku ona glasi
[dispmath]d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/dispmath] U nasem slucaju biće
[dispmath]kx-y=0,\hspace{2mm}C(2,0)\\
1=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}\\
\sqrt{k^2+1}=|2k|\hspace{2mm}/^2\\
k^2+1=4k^2\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{k=\pm\frac{\sqrt3}{3}}[/dispmath] Prema tome, trazena jednačina prave glasi [inlmath]y=\frac{\sqrt3}{3}x[/inlmath] ili [inlmath]y=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath]. Koordinate tačaka [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] dobijamo rešavanjem sistema
[dispmath]y=\frac{\sqrt3}{3}x\\
(x-2)^2+y^2=4[/dispmath] odnosno
[dispmath]y=-\frac{\sqrt3}{3}x\\
(x-2)^2+y^2=4[/dispmath] Rešavanje ovih sistema ne bi trebalo da predstavlja problem.
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

  • +1

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod Daniel » Sreda, 24. Jun 2020, 12:46

malaksala je napisao:Može još malo pojašnjenja nisam baš sasvim sigurna kako da pristupim ovom sistemu.

Iz jednačine kružnice može se zaključiti da tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] pripada kružnici. Takođe, i iz jednačine prave može se zaključiti da tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] pripada pravoj. Prema tome, tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] je jedna od dve presečne tačke kružnice i prave, tj. [inlmath]x_A=0[/inlmath] i [inlmath]y_A=0[/inlmath] (ovo je čak i odmah vidljivo čim se situacija skicira – zbog toga je prvo i osnovno kod ovakvog tipa zadatka uvek nacrtati skicu). Ovaj podatak znatno pojednostavljuje rešavanje sistema.

Frank je napisao:[dispmath]d^2=r^2-\left(\frac{AB}{2}\right)^2\\
d=2^2-\left(\sqrt3\right)^2=1[/dispmath]

I, nakon toga – ništa više nije potrebno računati kako bismo odredili [inlmath]k[/inlmath], već samo posmatrati sliku. :)
Pošto jedna od kateta i hipotenuza pravouglog trougla [inlmath]\triangle ACD[/inlmath] stoje u odnosu [inlmath]1:2[/inlmath], jasno je koji je to pravougli trougao – to je polovina jednakostraničnog trougla. Prema tome, ugao [inlmath]\angle CAD[/inlmath] jednak je [inlmath]30^\circ[/inlmath], a to je ujedno i ugao koji prava [inlmath]p[/inlmath] zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom. A pošto koeficijent pravca prave [inlmath]p[/inlmath] predstavlja tangens ugla koji ta prava zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom, jasno je da je [inlmath]k=\text{tg }30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath].
Naravno, takođe važi i [inlmath]k=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath], što bi odgovaralo slučaju koji je ovome na slici simetričan u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu.
Sad se lako odrede i koordinate druge presečne tačke [inlmath]B[/inlmath].



Nešto sličan način ovome bio bi da, nakon što smo uočili da je poluprečnik kružnice jednak [inlmath]2[/inlmath] i da je tačka [inlmath](0,0)[/inlmath] zajednička tačka kružnice i prave,

kruznica i prava 1.png
kruznica i prava 1.png (574 Bajta) Pogledano 758 puta

sada nekako pokušamo da povežemo dužinu poluprečnika kružnice ([inlmath]2[/inlmath]) i dužinu tražene tetive ([inlmath]2\sqrt3[/inlmath]). Čim vidimo ovo [inlmath]\sqrt3[/inlmath] odmah nam se nekako nameće jednakostraničan trougao. Pa, da vidimo – ako bi poluprečnik ([inlmath]2[/inlmath]) bio stranica jednakostraničnog trougla,

kruznica i prava 2.png
kruznica i prava 2.png (707 Bajta) Pogledano 758 puta

tada bi visina tog trougla bila [inlmath]\frac{2\sqrt3}{2}=\sqrt3[/inlmath]. Pošto je naša tetiva dvaput veće dužine, znači da visinu treba produžiti za još toliko kako bismo dobili tetivu. I, zaista:

kruznica i prava 3.png
kruznica i prava 3.png (1012 Bajta) Pogledano 758 puta

Preko podudarnosti trouglova, kao što je Frank pomenuo, može se dokazati da će dužina cele tetive biti jednaka visini jednakostraničnog trougla pomnožene sa [inlmath]2[/inlmath], tj. biće jednaka [inlmath]2\sqrt3[/inlmath], koliko je i zadato.
Pošto na slici tetiva deli ugao jednakostraničnog trougla (koji je, naravno, [inlmath]60^\circ[/inlmath]) na dva jednaka ugla, to znači da je ugao koji tetiva zaklapa sa [inlmath]x[/inlmath]-osom jednak [inlmath]30^\circ[/inlmath], pa je njen koeficijent pravca jednak [inlmath]k=\text{tg }30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath].
Naravno, zbog isto tako mogućeg simetričnog slučaja u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, važiće i [inlmath]k=-\frac{\sqrt3}{3}[/inlmath] kao drugo rešenje.
Sada nije problem odrediti ni drugu presečnu tačku kružnice i prave.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Kružnica, određivanje koordinata tačaka i parametra k

Postod malaksala » Sreda, 24. Jun 2020, 13:07

Shvatila sam sad potpuno i uradila zadatak. Hvala mnogo na objašnjenjima! :D
 
Postovi: 13
Zahvalio se: 9 puta
Pohvaljen: 0 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 34 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 14:01 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs