Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Odrediti najmanju vrednost izraza

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Odrediti najmanju vrednost izraza

Postod Frank » Subota, 26. Decembar 2020, 23:13

Pozdrav! U zadatku treba odrediti najmanju vrednost funkcije, ali pošto se zadatak radi upotrebom analitčke geometrije, stavio sam ga u rubriku "Analitička geometrija", a ne u "Funkcije". Tekst zadatka je sledeći:

Naći najmanju vrednost izraza [inlmath]f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-6x+25}[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]\sqrt{26}[/inlmath]

Data funkcija se može zapisati kao [inlmath]f(x)=\sqrt{(x-2)^2+(0-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}[/inlmath]. Neka je [inlmath]A(2,1)[/inlmath], [inlmath]B(3,4)[/inlmath] i [inlmath]C(x,0)[/inlmath]. Iz ovoga zaključujemo da je vrednost funkcije jednaka zbiru dužina duži [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath]. E sad, u rešenjima piše da je minimalan zbir duži [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] jednak dužini duži [inlmath]A'B[/inlmath] (tačka [inlmath]C[/inlmath] pripada duži [inlmath]A'B[/inlmath]), gde je [inlmath]A'[/inlmath] tačka simetrična tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu (tj. koordinate tačke [inlmath]A'[/inlmath] su [inlmath](2,-1)[/inlmath]). Meni nije jasno zbog čega je to tako. Ma koliko gledao u sliku, ne mogu da dođem do nekog zaključka. U zbirci nema nikakvo obrazloženje. Nadam se da ima neko razumno objašnjenje zašto je to tako. Hvala! :)
Frank  OFFLINE
 
Postovi: 502
Zahvalio se: 223 puta
Pohvaljen: 380 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+
  • +2

Re: Odrediti najmanju vrednost izraza

Postod ubavic » Nedelja, 27. Decembar 2020, 13:53

Dakle potrebno je pronaći tačku [inlmath]C[/inlmath] neke prave [inlmath]p[/inlmath] (u ovom slučaju prave [inlmath]y=0[/inlmath]), tako da je zbir [inlmath]AC+CB[/inlmath] najmanji, gde su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] neke fiksirane tačke sa iste strane prave [inlmath]p[/inlmath]. Primetimo prvo da za svaku tačku [inlmath]C[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] važi [inlmath]AC=A'C[/inlmath] gde je [inlmath]A'[/inlmath] tačka simetrična tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]p[/inlmath]. Zbog toga je [inlmath]AC+CB[/inlmath] najmanje kada je [inlmath]A'C+CB[/inlmath] najmanje. A [inlmath]A'C+CB[/inlmath] je najmanje kada se tačka [inlmath]C[/inlmath] nalazi na duži [inlmath]AB[/inlmath] odnosno kada je [inlmath]A'C+CB=A'B[/inlmath] (jer za svaku drugu tačku [inlmath]C'[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] važi nejednakost trougla [inlmath]A'B<A'C'+C'B[/inlmath]).

ABC2.png
ABC2.png (4.59 KiB) Pogledano 277 puta


Inače, ovako se dokazuje zakon odbijanja svetlosti ako se pretpostavi Fermaov princip (princip najmanjeg vremena).
ubavic  OFFLINE
Zaslužni forumaš
 
Postovi: 623
Zahvalio se: 385 puta
Pohvaljen: 641 puta


Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Nema registrovanih korisnika i 48 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Petak, 29. Mart 2024, 08:52 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs