MATEMANIJA

Pozdrav! U zadatku treba odrediti najmanju vrednost funkcije, ali pošto se zadatak radi upotrebom analitčke geometrije, stavio sam ga u rubriku "Analitička geometrija", a ne u "Funkcije". Tekst zadatka je sledeći:

Naći najmanju vrednost izraza [inlmath]f(x)=\sqrt{x^2-4x+5}+\sqrt{x^2-6x+25}[/inlmath].
Rešenje: [inlmath]\sqrt{26}[/inlmath]

Data funkcija se može zapisati kao [inlmath]f(x)=\sqrt{(x-2)^2+(0-1)^2}+\sqrt{(x-3)^2+(0-4)^2}[/inlmath]. Neka je [inlmath]A(2,1)[/inlmath], [inlmath]B(3,4)[/inlmath] i [inlmath]C(x,0)[/inlmath]. Iz ovoga zaključujemo da je vrednost funkcije jednaka zbiru dužina duži [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath]. E sad, u rešenjima piše da je minimalan zbir duži [inlmath]AC[/inlmath] i [inlmath]BC[/inlmath] jednak dužini duži [inlmath]A'B[/inlmath] (tačka [inlmath]C[/inlmath] pripada duži [inlmath]A'B[/inlmath]), gde je [inlmath]A'[/inlmath] tačka simetrična tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu (tj. koordinate tačke [inlmath]A'[/inlmath] su [inlmath](2,-1)[/inlmath]). Meni nije jasno zbog čega je to tako. Ma koliko gledao u sliku, ne mogu da dođem do nekog zaključka. U zbirci nema nikakvo obrazloženje. Nadam se da ima neko razumno objašnjenje zašto je to tako. Hvala!

Dakle potrebno je pronaći tačku [inlmath]C[/inlmath] neke prave [inlmath]p[/inlmath] (u ovom slučaju prave [inlmath]y=0[/inlmath]), tako da je zbir [inlmath]AC+CB[/inlmath] najmanji, gde su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] neke fiksirane tačke sa iste strane prave [inlmath]p[/inlmath]. Primetimo prvo da za svaku tačku [inlmath]C[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] važi [inlmath]AC=A'C[/inlmath] gde je [inlmath]A'[/inlmath] tačka simetrična tački [inlmath]A[/inlmath] u odnosu na [inlmath]p[/inlmath]. Zbog toga je [inlmath]AC+CB[/inlmath] najmanje kada je [inlmath]A'C+CB[/inlmath] najmanje. A [inlmath]A'C+CB[/inlmath] je najmanje kada se tačka [inlmath]C[/inlmath] nalazi na duži [inlmath]AB[/inlmath] odnosno kada je [inlmath]A'C+CB=A'B[/inlmath] (jer za svaku drugu tačku [inlmath]C'[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] važi nejednakost trougla [inlmath]A'B<A'C'+C'B[/inlmath]).



Inače, ovako se dokazuje zakon odbijanja svetlosti ako se pretpostavi Fermaov princip (princip najmanjeg vremena).