MATEMANIJA

Trebam odrediti zajednicku tangentu parabola [inlmath]y=x^2[/inlmath] i [inlmath]y^2=x[/inlmath]. Znam da je uslov [inlmath]p=2kn[/inlmath], iz ove parabole gde imam [inlmath]y^2[/inlmath], je lako posto je [inlmath]y^2=2px[/inlmath], ali ne znam kako da dodjem do drugog uslova

Uslov dodira prave [inlmath]y=kx+n[/inlmath] i parabole [inlmath]x^2=2py[/inlmath] možeš izvesti tako što prvo iz jednačine parabole izraziš [inlmath]y[/inlmath] preko [inlmath]x[/inlmath] i dobijeni izraz uvrstiš umesto [inlmath]y[/inlmath] u jednačinu prave. Time se dobija kvadratna jednačina po [inlmath]x[/inlmath]. Da bi prava dodirivala parabolu diskriminanta dobijene kvadratne jednačine mora biti jednaka [inlmath]0[/inlmath] .

Hvala

Uslov dodira [inlmath]p=2kn[/inlmath] može se koristiti i kad je parabola iz osnovnog položaja zarotirana za [inlmath]90^\circ[/inlmath], tj. kad je njena jednačina [inlmath]y=x^2[/inlmath]. Potrebno je samo da, pošto su kod jednačine takve parabole [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] međusobno zamenili mesta u odnosu na osnovni oblik, to odradimo u koordinatnom sistemu u kojem su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] takođe zamenili mesta, tako da ovde tražimo pravu [inlmath]x=ky+n[/inlmath] takvu da je [inlmath]p=2kn[/inlmath].
Dakle, tangenta na parabolu [inlmath]y^2=x[/inlmath] biće oblika [inlmath]y=kx+\frac{1}{4k}[/inlmath], dok će tangenta na parabolu [inlmath]y=x^2[/inlmath] biti oblika [inlmath]x=k'y+\frac{1}{4k'}[/inlmath].
Postavljenjem uslova da se te dve prave poklapaju lako se odredi koliko je [inlmath]k[/inlmath], a zatim, iz uslova [inlmath]p=2kn[/inlmath], i koliko je [inlmath]n[/inlmath].