MATEMANIJA

Pozdrav! Zamolila bih ako mozete da mi malo pripomognete oko sledeceg zadatka:

Odrediti jednacinu parabole koja sadrzi tacku [inlmath]A(2,1)[/inlmath], ako su date njena direktrisa [inlmath]x-2y-5=0[/inlmath] i osa simetrije [inlmath]2x+y-1=0[/inlmath].

Zbunjuje me sto ne znam kako da resavam ovakve zadatke kad parabola nije u svojoj "osnovnoj jednacini". U ovom slucaju je i zarotiran koordinatni sistem, i koordinatni pocetak je pomeren. Da li da mozda radim preko transformacije koordinata nesto ili kako vec? Molim vas pomoziteeeeee

Neka je [inlmath]F(f_1,f_2)[/inlmath] fokus parabole, a njena direktrisa prava: [inlmath]ax+by+c=0[/inlmath]. Tada jednačina parabole glasi:
[dispmath]\frac{(ax+by+c)^2}{a^2+b^2}=(x-f_1)^2+(y-f_2)^2[/dispmath] Iskoristi i činjenicu da osa parabole prolazi kroz fokus.

@primus

Mnogo ti hvala. Nego nama su samo dali opsti oblik [inlmath]y^2=2px[/inlmath] i ovaj zadatak, iskreno nisam ni znala da postoji formula kakvu si naveo/navela.
Sada je dosta lakse. Pozdrav!

Formula je sasvim logična, ne mora se ni znati napamet.
Leva strana predstavlja kvadrat rastojanja neke tačke parabole od direktrise (znamo da formula za rastojanje tačke [inlmath]M(x_0,y_0)[/inlmath] od prave [inlmath]Ax+By+C=0[/inlmath] glasi [inlmath]d=\frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/inlmath]).
Desna strana predstavlja kvadrat rastojanja neke tačke parabole od žiže.
A upravo je parabola po definiciji geometrijsko mesto tačaka koje su podjednako udaljene od direktrise i od žiže parabole. Zbog toga izjednačavamo levu i desnu stranu.

Naravno, zadatak je moguće uraditi i rotiranjem koordinatnog sistema (dosta komplikovaniji način, ali je dobar challenge za radoznale). Parabola se time svede na novu parabolu koja nije rotirana, i koja je u odnosu na osnovni položaj translirana po [inlmath]x[/inlmath]-osi za pomeraj [inlmath]a[/inlmath], i po [inlmath]y[/inlmath]-osi za pomeraj [inlmath]b[/inlmath], zbog čega njena jednačina tada glasi [inlmath](y-b)^2=2p(x-a)[/inlmath] (umesto [inlmath]x[/inlmath] smo pisali [inlmath]x-a[/inlmath] i umesto [inlmath]y[/inlmath] smo pisali [inlmath]y-b[/inlmath]).

Zadatak ima dva rešenja, tj. postoje dve parabole koje zadovoljavaju date uslove.

U tekstu zadatka postoji i jedan podatak viška:

lanaa je napisao:ako su date njena direktrisa [inlmath]x-2y-5=0[/inlmath] i osa simetrije [inlmath]{\color{red}2}x+y-1=0[/inlmath].

Da je umesto crveno obeležene dvojke kojim slučajem stajala nepoznata [inlmath]k[/inlmath], ne bi bio nikakav problem odrediti vrednost [inlmath]k[/inlmath], budući da su direktrisa i osa simetrije međusobno normalne – tako da je ta dvojka tu pomalo suvišna.

Hvala puno na pomoci.Pozdrav!