MATEMANIJA

Poz ljudi! Izvor ovog zadatka mi nije poznat ali napisacu tekst. Ovako glasi:

Tangente postavljene iz tacke [inlmath]A(2,4)[/inlmath] na kruznicu [inlmath]x^2+y^2=2[/inlmath] seku [inlmath]y[/inlmath] osu u tackama [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Povrsina trougla [inlmath]ABC[/inlmath] iznosi?

Ima li neko ideju kako bi se ovo moglo resiti?

Hvala unapred!

Da bi dobio jednačine tangenti reši sistem:
[dispmath]\begin{cases}
y_A=kx_A+n\\
r^2\cdot\left(k^2+1\right)-(kp-q+n)^2=0
\end{cases}[/dispmath] gde su [inlmath]x_A[/inlmath] i [inlmath]y_A[/inlmath] koordinate tačke [inlmath]A[/inlmath], [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] koordinate centra kružnice, a [inlmath]r[/inlmath] poluprečnik kružnice. Prva jednačina ovog sistema predstavlja opšti oblik prave, a druga uslov dodira prave i kružnice. Kad odrediš jednačine tangenti lako se dobijaju koordinate tačaka [inlmath]B[/inlmath] i [inlmath]C[/inlmath]. Površinu trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] potom izračunaš pomoću formule [inlmath]\frac{|BC|\cdot x_A}{2}[/inlmath], jer koordinata [inlmath]x_A[/inlmath] predstavlja visinu trougla koja odgovara stranici [inlmath]BC[/inlmath].

Uvodjenjem podataka, ispada da je povrsina jednaka sa [inlmath]BC[/inlmath]. Jel tako?

Babe i žabe se ne mogu porediti.

Sasvim je ispravno reći da je površina trougla brojno jednaka dužini [inlmath]BC[/inlmath] (iako su dimenzije površine i dužine, naravno, različite).

Visina trougla [inlmath]\triangle ABC[/inlmath] iz tačke [inlmath]A[/inlmath] na stranicu [inlmath]BC[/inlmath] biće jednaka [inlmath]x[/inlmath]-koordinati tačke [inlmath]A[/inlmath], a to je jednako [inlmath]2[/inlmath].

Prema tome, tražena površina će biti [inlmath]P_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h_A=\frac{1}{\cancel2}BC\cdot\cancel2=BC[/inlmath], što znači da je dovoljno naći dužinu [inlmath]BC[/inlmath], i ona će biti brojno jednaka traženoj površini.