Korisnički Kontrolni Panel
Pogledajte svoj profil
Pogledajte svoje postove
ČPP
Prijavite se

Matematički forum na kojem možete da diskutujete o raznim matematičkim oblastima, pomognete drugima oko rešavanja zadataka, a i da dobijete pomoć kada vam zatreba


















Index stranica OSTALE MATEMATIČKE OBLASTI ANALITIČKA GEOMETRIJA

Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

[inlmath]\left(x-p\right)^2+\left(y-q\right)^2=R^2[/inlmath]

Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod buca » Petak, 21. Maj 2021, 10:35

Prijemni ispit FON – 30. jun 2020.
16. zadatak


Zbir poluprečnika svih kružnica koje sadrže tačke [inlmath]\displaystyle A\left(\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right)[/inlmath] i [inlmath]B(-1,2)[/inlmath] i dodiruju pravu [inlmath]x=1[/inlmath] iznosi: [inlmath]3[/inlmath]

Kako se radi ovaj zadatak? Ja sam pokusao preko jednacine za kruznicu da izjednacim ali odatle ne znam sta da radim.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Sharuj ovu temu na:

Share on Facebook Facebook Share on Twitter Twitter Share on MySpace MySpace Share on Google+ Google+

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod Vivienne » Petak, 21. Maj 2021, 13:07

Reši sledeći sistem
[dispmath]\left(\frac{3}{5}-p\right)^2+\left(\frac{6}{5}-q\right)^2=r^2\\
(-1-p)^2+(2-q)^2=r^2\\
(1-p)^2=r^2[/dispmath]
 
Postovi: 71
Zahvalio se: 42 puta
Pohvaljen: 92 puta

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod primus » Subota, 22. Maj 2021, 08:15

Malo pojašnjenje kako doći do treće jednačine sistema koji je Vivienne navela. U opštu jednačinu kružnice [inlmath](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo broj [inlmath]1[/inlmath] jer tačka kružnice u kojoj prava [inlmath]x=1[/inlmath] dodiruje kružnicu ima [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu jednaku [inlmath]1[/inlmath], tako da dobijamo jednačinu: [inlmath](1-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath]. Odakle sledi da je [inlmath]y^2-2qy+q^2+(1-p)^2-r^2=0[/inlmath]. Uslov da prava [inlmath]x=1[/inlmath] dodiruje a ne seče kružnicu jeste da diskriminanta navedene kvadratne jednačine bude jednaka [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, [inlmath](2q)^2-4\left(q^2+(1-p)^2-r^2\right)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\cancel{4q^2}-\cancel{4q^2}-4\left((1-p)^2-r^2\right)=0[/inlmath]. Odakle dobijamo uslov: [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath]
Plenus venter non studet libenter
Korisnikov avatar
primus  OFFLINE
 
Postovi: 232
Zahvalio se: 15 puta
Pohvaljen: 278 puta

  • +2

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Ponedeljak, 24. Maj 2021, 13:15

Do uslova [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath] možemo doći bez mnogo računa, ako skiciramo situaciju:

kruznica i prava.png
kruznica i prava.png (1013 Bajta) Pogledano 2761 puta

Odavde vidimo da [inlmath]r[/inlmath] predstavlja rastojanje po [inlmath]x[/inlmath]-osi između [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]r=d(p,1)[/inlmath]. To znači da je [inlmath]r=|1-p|[/inlmath], a radi oslobađanja od apsolutne vrednosti, obe strane se mogu kvadrirati (uz uslov [inlmath]r\ge0[/inlmath], što je samo po sebi jasno), pa dobijamo [inlmath]r^2=(1-p)^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod buca » Petak, 28. Maj 2021, 08:13

Hvala. Vise mi se svidja drugi nacin. :mhm:

Nego me je bunilo ovo [inlmath]x=1[/inlmath], nisam znao da tad prava ne dolazi u kontakt sa [inlmath]y[/inlmath] osom.
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

  • +1

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Subota, 29. Maj 2021, 00:32

[inlmath]x=1[/inlmath] predstavlja vertikalnu pravu, tj. pravu paralelnu s [inlmath]y[/inlmath]-osom, koja se nalazi na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od [inlmath]y[/inlmath]-ose.
To je sasvim logično, jer [inlmath]x=1[/inlmath] predstavlja geometrijsko mesto (tj. skup) svih tačaka čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata jednaka [inlmath]1[/inlmath]. Pokušaj to da zamisliš u koordinatnoj ravni. Sve takve tačke određuju upravo jednu vertikalnu pravu.
Drugim rečima, sve tačke koje pripadaju pravoj [inlmath]x=1[/inlmath] imaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu koja je jednaka [inlmath]1[/inlmath].
Analogno tome, [inlmath]y=1[/inlmath] bila bi horizontalna prava, paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, koja bi se nalazila na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath]-ose.
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

  • +2

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod Tomic » Nedelja, 13. Jun 2021, 08:14

Do trece jednacine moze da se dodje i preko formule za razdaljinu prave i tacke, u tom slucaju dobicemo
[inlmath]r=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/inlmath], prava nam je [inlmath]1x+0y-1=0[/inlmath], to znaci da je [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=0[/inlmath], [inlmath]C=-1[/inlmath], pa imamo [inlmath]r=|x-1|[/inlmath], ako kvadriramo dobicemo [inlmath]r^2=(x-1)^2[/inlmath]
Poslednji put menjao Daniel dana Nedelja, 13. Jun 2021, 17:39, izmenjena samo jedanput
Razlog: Dodavanje Latexa – tačka 13. Pravilnika
Tomic  OFFLINE
 
Postovi: 1
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 2 puta

  • +1

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod Daniel » Nedelja, 13. Jun 2021, 17:43

Da, može i tako. Treba samo naglasiti da ovde [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] predstavljaju koordinate centra kružnice. Zato bi, zapravo, bilo bolje umesto njih koristiti oznake [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], za koje smo navikli da nam predstavljaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu centra kružnice, respektivno.
To jest, [inlmath]r=\frac{|Ap+Bq+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\;\Longrightarrow\;r^2=(p-1)^2[/inlmath].
I do not fear death. I had been dead for billions and billions of years before I was born, and had not suffered the slightest inconvenience from it. – Mark Twain
Korisnikov avatar
Daniel  OFFLINE
Administrator
 
Postovi: 9300
Lokacija: Beograd
Zahvalio se: 5151 puta
Pohvaljen: 4951 puta

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod buca » Četvrtak, 24. Jun 2021, 23:45

Poz, opet prelazim testove pa bih malo da rascistim kod ovog zadatka nesto.

Daniel, kako si dosao do ovog kruga? Zar slika nije proizvoljna, zasto je on bas tu gde je prikazan na tvojoj slici?

Inace, resavanjem sistema sam dobio dva centra kruznica - [inlmath]C(-1,0),C(0,2)[/inlmath]. Sad, uzmem [inlmath]p[/inlmath] koordinatu ovih tacaka i zamenim u [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath] i dobijem [inlmath]r[/inlmath]-ove od vrednosti [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Jel ovo dobar nacin resavanja?
buca  OFFLINE
 
Postovi: 65
Zahvalio se: 26 puta
Pohvaljen: 1 puta

Re: Zbir poluprečinka kružnica – prijemni FON 2020.

Postod nata » Petak, 25. Jun 2021, 14:25

Mozes li molim te da napises postupak kako si dosao do centara kruznice? Nikako ne mogu da dobijem resenje.
Hvala unapred!
nata  OFFLINE
 
Postovi: 2
Zahvalio se: 0 puta
Pohvaljen: 0 puta

Sledeća

Povratak na ANALITIČKA GEOMETRIJA

Ko je OnLine

Korisnici koji su trenutno na forumu: Google [Bot] i 45 gostiju


Index stranicaTimObriši sve kolačiće boarda
Danas je Četvrtak, 28. Mart 2024, 21:21 • Sva vremena su u UTC + 1 sat
Pokreće ga phpBB® Forum Software © phpBB Group
Prevod – www.CyberCom.rs