MATEMANIJA

Prijemni ispit FON – 30. jun 2020.
16. zadatak

Zbir poluprečnika svih kružnica koje sadrže tačke [inlmath]\displaystyle A\left(\frac{3}{5},\frac{6}{5}\right)[/inlmath] i [inlmath]B(-1,2)[/inlmath] i dodiruju pravu [inlmath]x=1[/inlmath] iznosi: [inlmath]3[/inlmath]

Kako se radi ovaj zadatak? Ja sam pokusao preko jednacine za kruznicu da izjednacim ali odatle ne znam sta da radim.

Reši sledeći sistem
[dispmath]\left(\frac{3}{5}-p\right)^2+\left(\frac{6}{5}-q\right)^2=r^2\\
(-1-p)^2+(2-q)^2=r^2\\
(1-p)^2=r^2[/dispmath]

Malo pojašnjenje kako doći do treće jednačine sistema koji je Vivienne navela. U opštu jednačinu kružnice [inlmath](x-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath] umesto [inlmath]x[/inlmath] uvrstimo broj [inlmath]1[/inlmath] jer tačka kružnice u kojoj prava [inlmath]x=1[/inlmath] dodiruje kružnicu ima [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu jednaku [inlmath]1[/inlmath], tako da dobijamo jednačinu: [inlmath](1-p)^2+(y-q)^2=r^2[/inlmath]. Odakle sledi da je [inlmath]y^2-2qy+q^2+(1-p)^2-r^2=0[/inlmath]. Uslov da prava [inlmath]x=1[/inlmath] dodiruje a ne seče kružnicu jeste da diskriminanta navedene kvadratne jednačine bude jednaka [inlmath]0[/inlmath]. Dakle, [inlmath](2q)^2-4\left(q^2+(1-p)^2-r^2\right)=0[/inlmath], odnosno [inlmath]\cancel{4q^2}-\cancel{4q^2}-4\left((1-p)^2-r^2\right)=0[/inlmath]. Odakle dobijamo uslov: [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath]

Do uslova [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath] možemo doći bez mnogo računa, ako skiciramo situaciju:


Odavde vidimo da [inlmath]r[/inlmath] predstavlja rastojanje po [inlmath]x[/inlmath]-osi između [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath], tj. [inlmath]r=d(p,1)[/inlmath]. To znači da je [inlmath]r=|1-p|[/inlmath], a radi oslobađanja od apsolutne vrednosti, obe strane se mogu kvadrirati (uz uslov [inlmath]r\ge0[/inlmath], što je samo po sebi jasno), pa dobijamo [inlmath]r^2=(1-p)^2[/inlmath].

Hvala. Vise mi se svidja drugi nacin.

Nego me je bunilo ovo [inlmath]x=1[/inlmath], nisam znao da tad prava ne dolazi u kontakt sa [inlmath]y[/inlmath] osom.

[inlmath]x=1[/inlmath] predstavlja vertikalnu pravu, tj. pravu paralelnu s [inlmath]y[/inlmath]-osom, koja se nalazi na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od [inlmath]y[/inlmath]-ose.
To je sasvim logično, jer [inlmath]x=1[/inlmath] predstavlja geometrijsko mesto (tj. skup) svih tačaka čija je [inlmath]x[/inlmath]-koordinata jednaka [inlmath]1[/inlmath]. Pokušaj to da zamisliš u koordinatnoj ravni. Sve takve tačke određuju upravo jednu vertikalnu pravu.
Drugim rečima, sve tačke koje pripadaju pravoj [inlmath]x=1[/inlmath] imaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu koja je jednaka [inlmath]1[/inlmath].
Analogno tome, [inlmath]y=1[/inlmath] bila bi horizontalna prava, paralelna [inlmath]x[/inlmath]-osi, koja bi se nalazila na rastojanju [inlmath]1[/inlmath] od [inlmath]x[/inlmath]-ose.

Do trece jednacine moze da se dodje i preko formule za razdaljinu prave i tacke, u tom slucaju dobicemo
[inlmath]r=\frac{|Ax+By+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}[/inlmath], prava nam je [inlmath]1x+0y-1=0[/inlmath], to znaci da je [inlmath]A=1[/inlmath], [inlmath]B=0[/inlmath], [inlmath]C=-1[/inlmath], pa imamo [inlmath]r=|x-1|[/inlmath], ako kvadriramo dobicemo [inlmath]r^2=(x-1)^2[/inlmath]

Da, može i tako. Treba samo naglasiti da ovde [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] predstavljaju koordinate centra kružnice. Zato bi, zapravo, bilo bolje umesto njih koristiti oznake [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath], za koje smo navikli da nam predstavljaju [inlmath]x[/inlmath]-koordinatu i [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu centra kružnice, respektivno.
To jest, [inlmath]r=\frac{|Ap+Bq+C|}{\sqrt{A^2+B^2}}\;\Longrightarrow\;r^2=(p-1)^2[/inlmath].

Poz, opet prelazim testove pa bih malo da rascistim kod ovog zadatka nesto.

Daniel, kako si dosao do ovog kruga? Zar slika nije proizvoljna, zasto je on bas tu gde je prikazan na tvojoj slici?

Inace, resavanjem sistema sam dobio dva centra kruznica - [inlmath]C(-1,0),C(0,2)[/inlmath]. Sad, uzmem [inlmath]p[/inlmath] koordinatu ovih tacaka i zamenim u [inlmath](1-p)^2=r^2[/inlmath] i dobijem [inlmath]r[/inlmath]-ove od vrednosti [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. Jel ovo dobar nacin resavanja?

Mozes li molim te da napises postupak kako si dosao do centara kruznice? Nikako ne mogu da dobijem resenje.
Hvala unapred!