MATEMANIJA

Pozdrav,
Rastojanje centra kružnice [inlmath]x^2+4x+y^2+8y+16=0[/inlmath] do prave određene presečnim tačkama kružnica [inlmath]x^2+y^2=2y[/inlmath] i [inlmath]x^2-4x+y^2+2y=8[/inlmath] jednako je:
Tačan odgovor je [inlmath]2\sqrt2[/inlmath]

Prvo sam napisao j-nu kružnice u opštem obliku;
[dispmath]\left(x+2\right)^2+\left(y+4\right)^2=4[/dispmath] Odakle je centar sa koordinatama [inlmath]\left(-2,-4\right)[/inlmath]

E sad, zapeo sam kod dela kod ova 2 sistema;
Pomnožio sam prvu sa [inlmath]-1[/inlmath] i time dobijam;
[dispmath]-4y+4x+8[/dispmath] Koji bih deo još mogao da iskoristim kako bih došao do rešenja?

Acim je napisao:[dispmath]-4y+4x+8[/dispmath]

Ovo podeli sa [inlmath]4[/inlmath].
Posle iskoristi formulu za rastojanje tacke od prave (u nasem slucaju od centra kruga i prave koju si dobio).

Da li razumes tekst zadatka, tj. da li bi znao da nacrtas sliku?

Acim je napisao:Pomnožio sam prvu sa [inlmath]-1[/inlmath] i time dobijam;
[dispmath]-4y+4x+8[/dispmath]

Ovo ne predstavlja ništa. Nakon što prvu jednačinu pomnožimo sa [inlmath]-1[/inlmath] i saberemo je sa drugom dobija se
[dispmath]-4y+4x+8\;\color{red}{=0}\\
\Longrightarrow\;x=y-2[/dispmath] Zamenimo [inlmath]x=y-2[/inlmath] u neku (bilo koju) jednačinu sistema. Time dobijamo koordinate presečnih tačaka.
Mislim da ćeš dalje moći sam...

emi je napisao:Da li razumes tekst zadatka, tj. da li bi znao da nacrtas sliku?

Iskreno, nikad kod analitičke geometrije skice ne crtam jer mi (u mom slučaju) ne pomažu uopšte (za sad), izuzev kod zadataka tipa "odredi tačku najudaljeniju od neke krive" kako bih video koje vrednosti za [inlmath]n[/inlmath] (uslov dodira) odgovaraju.

Kada izrazim da mi je [inlmath]x=y-2[/inlmath], dobijam kvadratnu j-nu po [inlmath]y[/inlmath]
[dispmath]y^2-3y+2=0[/dispmath] Njena rešenja su [inlmath]2[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath]. U prvom slučaju, rastojanje mi je [inlmath]2\sqrt{10}[/inlmath], a u drugom [inlmath]\sqrt{26}[/inlmath].
Proverio sam da nisam u računu negde pogrešio, al uvek dobijem isto, tj. pogrešan rezultat.

Nisi pogresio u racunu.
U zadatku se nisu trazila rastojanja do presecnih tacaka kruznica, vec rastojanje do prave.

Nadji tu pravu, pa iskoristi formulu za rastojanje tacke do prave.

Frank je napisao:Nakon što prvu jednačinu pomnožimo sa [inlmath]-1[/inlmath] i saberemo je sa drugom dobija se
[dispmath]-4y+4x+8\;\color{red}{=0}\\
\Longrightarrow\;x=y-2[/dispmath] Zamenimo [inlmath]x=y-2[/inlmath] u neku (bilo koju) jednačinu sistema. Time dobijamo koordinate presečnih tačaka.

Da li smo uopste morali da trazimo koordinate presecnih tacaka?
Kad dobijemo pravu [inlmath]x=y-2[/inlmath] tj. [inlmath]l\colon x-y+2=0[/inlmath], zar nije jednostavnije da samo primenimo formulu za rastojanje tacke od prave?
[dispmath]d(C,l)=\frac{\left|Ax_c+By_c+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}=\frac{\left|-2-4+2\right|}{\sqrt2}=\frac{4}{\sqrt2}=2\sqrt2[/dispmath]

Hvala puno. Sumnjao sam da je do toga, ali nisam bio u potpunosti siguran.

emi je napisao:Da li smo uopste morali da trazimo koordinate presecnih tacaka?

Nismo. Bravo na zapažanju.
Da pokušam malo da pojasnim (onako kako sam ja to razumeo):
Jednačina [inlmath]x-y+2=0[/inlmath] predstavlja jednačinu prave. Kako su koordinate presečnih tačaka povezane relacijom [inlmath]x-y+2=0[/inlmath] i kako postoji jedinstvena prava koja prolazi kroz obe presečne tačke, sledi da je jednačina tražene prave (prave do koje računamo rastojanje) upravo [inlmath]x-y+2=0[/inlmath].