MATEMANIJA

Drugi probni prijemni ispit FON – 20. jun 2021.
20. zadatak

Ako tačke [inlmath]A\left(-2,0\right)[/inlmath] i [inlmath]B\left(1,3\right)[/inlmath] pripadaju kružnici [inlmath]k[/inlmath], gde je [inlmath]B[/inlmath] tačka na kružnici koja je na najmanjem rastojanju od prave [inlmath]2x+y=7[/inlmath], onda je dužina poluprečnika kružnice [inlmath]k[/inlmath] jednaka;
Tačan odgovor je [inlmath]\sqrt{5}[/inlmath]

Kako tačke [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] pripadaju kružnici, imamo sledeće jednačine;
Za tačku [inlmath]A[/inlmath];
[dispmath]\left(-2-p\right)^2+q^2=r^2\\
4+4p+p^2+q^2=r^2[/dispmath] Za tačku [inlmath]B[/inlmath];
[dispmath]\left(1-p\right)^2+\left(3-q\right)^2=r^2\\
p^2+q^2-6q-2p+10=r^2[/dispmath] Sređivanjem sistema dobijam jednačinu;
[dispmath]p+q=1[/dispmath] E sad, nisam siguran šta dalje treba da uradim kako bih dobio poluprečnik kružnice. Ako je tačka [inlmath]B[/inlmath] na najmanjem rastojanju, to onda znači da koeficijent te prave treba da bude oblika [inlmath]\frac{-1}{k}[/inlmath], tj. u ovom slučaju [inlmath]k=\frac{1}{2}[/inlmath], ali još uvek ne uočavam šta da iskoristim iz tog dela.

Odredi jednačinu prave koja prolazi kroz tačku [inlmath]B[/inlmath] i okomita je na zadatu pravu. Novodobijenoj pravoj pripada centar kružnice. Time se dobija još jedna jednačina koja povezuje [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath]. Kad odrediš njihove vrednosti lako se određuje dužina poluprečnika.

Prvu jednačinu je možda lakše odrediti na osnovu činjenice da se centar kružnice nalazi na simetrali duži [inlmath]AB[/inlmath].