MATEMANIJA

Pozdrav, spremam ispit iz Matematike 1 i nemam ideju za dalje rešavanje zadatka. Zadatak glasi: "Date su tačke [inlmath]A(1,2,1)[/inlmath], [inlmath]B(-1,-3,7)[/inlmath], [inlmath]C(5,2,1)[/inlmath], [inlmath]D(1,2,-2)[/inlmath]. Odrediti ravan [inlmath]\alpha[/inlmath] koja je podjednako udaljena od pravih odredjenih tačkama [inlmath]AB[/inlmath] i [inlmath]CD[/inlmath]. Odrediti presek ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] sa ravni [inlmath]yOz[/inlmath] u kanonskom obliku."

Kada odredim pravu koja je odredjena tackama [inlmath]AB[/inlmath], [inlmath]a\colon\frac{x+1}{2}=\frac{y+3}{5}=\frac{z-7}{-6}[/inlmath] i pravu odredjenu tackama [inlmath]CD[/inlmath], [inlmath]b\colon\frac{x-1}{4}=\frac{y-2}{0}=\frac{z+2}{3}[/inlmath] nemam ideju kako da nastavim sa daljim resavanjem zadatka.
Hvala unapred.

Pozdrav. Haj'mo za početak da razjasnimo sledeće:

• Ako se kaže da je ravan udaljena od neke prave, šta nam to govori o međusobnom položaju te ravni i te prave?
• S obzirom na takav položaj date ravni i svake od datih pravih, kako glasi veza između vektora normale date ravni i vektora svake od datih pravih?

Zakljucujemo da su vektori pravih [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] i vektor normale ravni [inlmath]\alpha[/inlmath] normalni pa je njihov skalarni proizvod jednak [inlmath]0[/inlmath]. Odnosno
[dispmath]\vec n\cdot\vec{a_1}=0\\
\vec n\cdot\vec{b_1}=0,[/dispmath] gde je [inlmath]\vec n[/inlmath] vektor normale ravni, a [inlmath]\vec{a_1}[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_1}[/inlmath] vektori pravih [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath]. Ukoliko stavimo da je [inlmath]\vec n(A,B,C)[/inlmath] a iz formula pravih imamo da su [inlmath]\vec{a_1}(2,5,-6)[/inlmath] i [inlmath]\vec{b_1}(4,0,3)[/inlmath] dobijamo dve jednacine.
[dispmath]2\cdot A+5\cdot B-6\cdot C=0\\
4\cdot A+3\cdot C=0[/dispmath] Kada iskoristim da su obe prave podjednako udaljene od ravni odatle sledi da su sve tacke koje pripadaju pravima podjednako udaljene od ravni odnosno da su
[dispmath]d(A,\alpha)=\frac{A+2B+C+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
d(C,\alpha)=\frac{5A+2B+C+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/dispmath] odakle sledi da su
[dispmath]A+2B+C+D=5A+2B+C+D[/dispmath] i prethodne dve jednacine dobijem da su sve vrednosti [inlmath]\vec n(A,B,C)[/inlmath] jednake [inlmath]0[/inlmath].

Ceo postupak je OK, izuzev što si ovde,

helenatrojanska je napisao:[dispmath]d(A,\alpha)=\frac{A+2B+C+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
d(C,\alpha)=\frac{5A+2B+C+D}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/dispmath]

zaboravila apsolutnu zagradu. Dakle, treba
[dispmath]d(A,\alpha)=\frac{|A+2B+C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}\\
d(C,\alpha)=\frac{|5A+2B+C+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}[/dispmath] Inače, može se uraditi i nešto jednostavnije, bez korišćenja formule za rastojanje tačke od ravni. Dovoljno je naći središte duži [inlmath]AC[/inlmath] (ili središte duži [inlmath]AD[/inlmath], ili srediđte duži [inlmath]BC[/inlmath], ili središte duži [inlmath]BD[/inlmath] – potpuno svejedno) i pošto se to središte nalazi tačno između dve date prave, znamo da ono mora pripadati i traženoj ravni.

Da li mogu Iskoristiti to da ukoliko su i vektor prave [inlmath]a[/inlmath] i vektor prave [inlmath]b[/inlmath] normalni na vektor normale ravni da je njihov vektorski proizvod jednak vektoru normale ravni?
[dispmath]\vec n=\begin{bmatrix}
\vec i & \vec j & \vec k\\
2 & 5 & -6\\
4 & 0 & 3
\end{bmatrix}[/dispmath]

Može, naravno. To neće raditi jedino ako su prave [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] paralelne, što ovde nije slučaj.
Eto, još elegantniji način.