MATEMANIJA

Imam ovakav oblik jednacine kruznice [inlmath]-2x+(y-1)^2\le2[/inlmath] pa me zanima da li ova kruznica uopste postoji jer nemam [inlmath]x^2[/inlmath] ili ipak ima neko drugo objasnjenje? Svaka pomoc bi mi dobro dosla

Nije ovo za „Geometriju“, ovo je za „Analitičku geometriju“. Premestiću.

Ovo je parabola. Kao što si i sâm dobro primetio, u jednačini kružnice su i [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] dignuti na kvadrat (i kod elipse, i kod hiperbole).
Kada je samo jedno od to dvoje dignuto na kvadrat, onda je u pitanju parabola i to:
– ako je [inlmath]x[/inlmath] dignuto na kvadrat i koeficijenti uz [inlmath]x^2[/inlmath] i uz [inlmath]y[/inlmath] su istog znaka, pri čemu su [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] sa raznih strana jednačine [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] teme parabole je okrenuto nadole;
– ako je [inlmath]x[/inlmath] dignuto na kvadrat i koeficijenti uz [inlmath]x^2[/inlmath] i uz [inlmath]y[/inlmath] su suprotnog znaka, pri čemu su [inlmath]x^2[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] sa raznih strana jednačine [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] teme parabole je okrenuto nagore;
– ako je [inlmath]y[/inlmath] dignuto na kvadrat i koeficijenti uz [inlmath]x[/inlmath] i uz [inlmath]y^2[/inlmath] su istog znaka, pri čemu su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] sa raznih strana jednačine [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] teme parabole je okrenuto nalevo;
– ako je [inlmath]y[/inlmath] dignuto na kvadrat i koeficijenti uz [inlmath]x[/inlmath] i uz [inlmath]y^2[/inlmath] su suprotnog znaka, pri čemu su [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y^2[/inlmath] sa raznih strana jednačine [inlmath]\Rightarrow[/inlmath] teme parabole je okrenuto nadesno.

U ovom tvom slučaju, dakle, teme parabole bi bilo okrenuto nalevo.
Međutim, pošto ovde nemaš jednačinu, već nejednačinu, sa znakom [inlmath]\le[/inlmath], ona ne predstavlja samo parabolu, već predstavlja i parabolu i površinu koju ona obuhvata svojim kracima. Da je stajao znak [inlmath]<[/inlmath], tada bi ona predstavljala samo površinu koju parabola obuhvata svojim kracima, ne uključujući samu parabolu. Da je stajao znak [inlmath]>[/inlmath], bila bi u pitanju površina „van“ parabole.

E bas ti hvala mnogo..

Zapravo, malo je slozenija nejednacina pa ne mogu da se orjetisem. Jer imam vise faktora koji i nisu bas jasni. [inlmath]-2x+y^2-2y\le1[/inlmath] sto nije bas isto kao [inlmath]y^2=2px[/inlmath] Mozda ja to ne vidim, ali ne znam sta da radim sa ovim "viskom" ako mogu tako da kazem, [inlmath]-2y[/inlmath] i [inlmath]1[/inlmath] ?

Da, osnovni oblik je [inlmath]y^2=2px[/inlmath], međutim, isto kao i kod kružnice, elipse i ostalih krivih važi da, ako umesto [inlmath]x[/inlmath] imaš [inlmath]x-a[/inlmath], a umesto [inlmath]y[/inlmath] imaš [inlmath]y-b[/inlmath], to znači da je ta kriva translirana u smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose za [inlmath]a[/inlmath] i u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose za [inlmath]b[/inlmath]. Konkretno, parabola data jednačinom [inlmath]\left(y-b\right)^2=2p\left(x-a\right)[/inlmath] translirana je u smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose za [inlmath]a[/inlmath] i u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose za [inlmath]b[/inlmath]. Kada imaš, međutim, [inlmath]x+a[/inlmath] na mestu [inlmath]x[/inlmath], tada je kriva translirana takođe za [inlmath]a[/inlmath], ali u suprotnom smeru, tj. ka opadajućim vrednostima [inlmath]x[/inlmath]-ose.

Što se tiče tvog izraza, on se može svesti na [inlmath]\left(y-b\right)^2\le2p\left(x-a\right)[/inlmath]:
[dispmath]-2x+\left(y-1\right)^2\le2\\
\left(y-1\right)^2\le2x+2\\
\left(y-1\right)^2\le2\left(x+1\right)[/dispmath]
Znači, to je parabola (i površina unutar nje) kod koje je [inlmath]p=1[/inlmath] i koja je translirana u smeru [inlmath]x[/inlmath]-ose za [inlmath]-1[/inlmath] (tj. translirana je za [inlmath]1[/inlmath] ka opadajućim vrednostima [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. translirana je za [inlmath]1[/inlmath] ulevo) i translirana je za [inlmath]1[/inlmath] u smeru [inlmath]y[/inlmath]-ose, tj. translirana je za [inlmath]1[/inlmath] prema gore.

Sada je mnogo jasnije. Hvala ti

Nadam se da jos ovo i nece mi trebati vise objanjenja oko ove parabole
Ova me nejednacina zaista zbunjuje. Sada ne mogu da shvatim kako da odredim tacke kroz koje ova parabola prolazi. Tj. sirinu njenih kraka. Kratko receno, ne znam da je graficki pretstavim.

Koordinate temena parabole nije teško odrediti. U odnosu na parabolu zadatu jednačinom [inlmath]y^2=2px[/inlmath], kod koje se teme nalazi u koordinatnom početku, kod ove parabole, koja je u odnosu na prethodnu translirana za [inlmath]1[/inlmath] prema gore i za [inlmath]1[/inlmath] prema levo, biće i teme isto tako translirano, znači, koordinate temena će biti [inlmath]\left(-1,1\right)[/inlmath].

[inlmath]y[/inlmath]-koordinate njenih preseka s [inlmath]y[/inlmath]-osom odrediš tako što u njenoj jednačini [inlmath]x[/inlmath] izjednačiš s nulom:
[dispmath]-2\cdot0+\left(y-1\right)^2=2\quad\Rightarrow\quad\left(y-1\right)^2=2\quad\Rightarrow\quad\left|y-1\right|=\sqrt2\quad\Rightarrow\quad y-1=\pm\sqrt2\quad\Rightarrow\quad y=1\pm\sqrt2[/dispmath]
Na sličan način odrediš presečnu tačku parabole s [inlmath]x[/inlmath]-osom, izjednačavajući [inlmath]y[/inlmath] u jednačini parabole s nulom.

Sličan postupak ponoviš za proizvoljne vrednosti [inlmath]x[/inlmath], pri čemu svaku od tih vrednosti uvrstiš u jednačinu parabole i dobiješ odgovarajuće dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath], čime odrediš koordinate dovoljnog broja tačaka te parabole, koje posle spojiš.