MATEMANIJA

Da li bi neko mogao da mi objasni kako se izvodi formula za direktrisu hiperbole ili da mi pak kaže neku caku pomoću koje bih mogao da je upamtim?

Za asimptote sam našao veoma jednostavno objašnjenje (http://www.wikihow.com/Find-the-Equatio ... -Hyperbola), ali za direktrise nikako ne uspevam da nađem.


Hvala unapred!

Kod hiperbole direktrisa predstavlja vertikalnu pravu (čija je jednačina [inlmath]x=d[/inlmath]) takvu da za svaku tačku na hiperboli važi da je njeno rastojanje od žiže hiperbole proporcionalno njenom rastojanju od direktrise.


Koeficijent proporcionalnosti, [inlmath]k[/inlmath], veći je od [inlmath]1[/inlmath], što znači da je rastojanje svake tačke od žiže veće od njenog rastojanja od direktrise.
[dispmath]\sqrt{\left(c-x\right)^2+y^2}=k\left(x-d\right)\quad\left(1\right)[/dispmath]
Leva strana ove jednakosti označava rastojanje neke posmatrane tačke [inlmath]M\left(x,y\right)[/inlmath] od žiže hiperbole, a desna strana predstavlja njeno rastojanje od direktrise, [inlmath]x-d[/inlmath], pomnoženo faktorom proporcionalnosti [inlmath]k[/inlmath].
Poznate su nam sledeće jednakosti:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Rightarrow\quad y^2=b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)\quad\left(2\right)[/dispmath][dispmath]b^2=c^2-a^2\quad\left(3\right)[/dispmath]
a koeficijent proporcionalnosti [inlmath]k[/inlmath] možemo izraziti preko [inlmath]a[/inlmath], [inlmath]c[/inlmath] i [inlmath]d[/inlmath] ako posmatramo tačku preseka hiperbole s [inlmath]x[/inlmath]-osom, tj. tačku [inlmath]\left(a,0\right)[/inlmath], čije je rastojanje od žiže jednako [inlmath]c-a[/inlmath], a rastojanje od direktrise [inlmath]a-d[/inlmath]:
[dispmath]k=\frac{c-a}{a-d}\quad\left(4\right)[/dispmath]
Uvrštavanjem [inlmath]\left(2\right)[/inlmath], [inlmath]\left(3\right)[/inlmath] i [inlmath]\left(4\right)[/inlmath] u [inlmath]\left(1\right)[/inlmath] dobijamo jednačinu:
[dispmath]\sqrt{\left(c-x\right)^2+\left(c^2-a^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)}=\frac{c-a}{a-d}\left(x-d\right)\quad /^2[/dispmath]
[dispmath]\left(c-x\right)^2+\left(c^2-a^2\right)\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)=\frac{\left(c-a\right)^2\left(x-d\right)^2}{\left(a-d\right)^2}\quad /\cdot a^2\left(a-d\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\left(a-d\right)^2\left[a^2\left(c-x\right)^2+\left(c^2-a^2\right)\left(x^2-a^2\right)\right]=a^2\left(c-a\right)^2\left(x-d\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\left(a-d\right)^2\left(\cancel{a^2c^2}-2a^2cx+\cancel{a^2x^2}+c^2x^2-\cancel{a^2x^2}-\cancel{a^2c^2}+a^4\right)=\left(a^2c^2-2a^3c+a^4\right)\left(x-d\right)^2[/dispmath]
[dispmath]\left(a^2-2ad+d^2\right)\left(-2a^2cx+c^2x^2+a^4\right)=\left(a^2c^2-2a^3c+a^4\right)\left(x^2-2dx+d^2\right)[/dispmath]
[dispmath]-2a^4cx+\cancel{4a^3cdx}-2a^2cd^2x+\cancel{a^2c^2x^2}-2ac^2dx^2+c^2d^2x^2+a^6-2a^5d+\cancel{a^4d^2}=[/dispmath][dispmath]=\cancel{a^2c^2x^2}-2a^3cx^2+a^4x^2-2a^2c^2dx+\cancel{4a^3cdx}-2a^4dx+a^2c^2d^2-2a^3cd^2+\cancel{a^4d^2}[/dispmath]
[dispmath]\left(-2a^2cx+c^2x^2-a^2c^2+2a^3c\right)d^2+\left(-2ac^2x^2-2a^5+2a^2c^2x+2a^4x\right)d+[/dispmath][dispmath]+a^6-2a^4cx+2a^3cx^2-a^4x^2=0[/dispmath]
[dispmath]c\left(-2a^2x+cx^2-a^2c+2a^3\right)d^2-2a\left(c^2x^2+a^4-ac^2x-a^3x\right)d+[/dispmath][dispmath]+a^3\left(a^3-2acx+2cx^2-ax^2\right)=0[/dispmath]
[dispmath]c\left[2a^2\left(a-x\right)+c\left(x^2-a^2\right)\right]d^2-2a\left[c^2x\left(x-a\right)+a^3\left(a-x\right)\right]d+[/dispmath][dispmath]+a^3\left[a\left(a^2-x^2\right)+2cx\left(x-a\right)\right]=0\quad /:\left(x-a\right)[/dispmath]
[dispmath]c\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]d^2-2a\left(c^2x-a^3\right)d+a^3\left[-a\left(x+a\right)+2cx\right]=0[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{2a\left(c^2x-a^3\right)\pm\sqrt{4a^2\left(c^2x-a^3\right)^2-4a^3c\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]\left[-a\left(x+a\right)+2cx\right]}}{2c\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{\cancel 2a\left(c^2x-a^3\right)\pm\cancel 2a\sqrt{\left(c^2x-a^3\right)^2-ac\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]\left[-a\left(x+a\right)+2cx\right]}}{\cancel 2c\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{\left(c^2x-a^3\right)^2-ac\left[-2a^2+c\left(x+a\right)\right]\left[-a\left(x+a\right)+2cx\right]}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{c^4x^2-2a^3c^2x+a^6-ac\left[2a^3\left(x+a\right)-ac\left(x+a\right)^2-4a^2cx+2c^2x\left(x+a\right)\right]}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{c^4x^2-\cancel{2a^3c^2x}+a^6-2a^4cx-2a^5c+a^2c^2x^2+\cancel{2a^3c^2x}+a^4c^2+4a^3c^2x-2ac^3x^2-2a^2c^3x}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{c^4x^2+a^6-2a^4cx-2a^5c+a^2c^2x^2+a^4c^2+4a^3c^2x-2ac^3x^2-2a^2c^3x}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{\left(a^6-2a^5c+a^4c^2\right)+\left(c^4x^2-2ac^3x^2+a^2c^2x^2\right)-\left(2a^4cx-4a^3c^2x+2a^2c^3x\right)}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{a^4\left(a^2-2ac+c^2\right)+c^2x^2\left(c^2-2ac+a^2\right)-2a^2cx\left(a^2-2ac+c^2\right)}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\sqrt{a^4\left(a-c\right)^2+c^2x^2\left(a-c\right)^2-2a^2cx\left(a-c\right)^2}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\left|a-c\right|\sqrt{a^4+c^2x^2-2a^2cx}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\left|a-c\right|\sqrt{\left(a^2-cx\right)^2}}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\left|a-c\right|\left|a^2-cx\right|}{-2a^2+c\left(x+a\right)}[/dispmath]
[dispmath]d_{1,2}=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-a^3\pm\left|a^3-a^2c-acx+c^2x\right|}{-2a^2+cx+ac}[/dispmath]
[dispmath]d_1=\frac{a}{c}\cdot\frac{c^2x-\cancel{a^3}+\cancel{a^3}-a^2c-acx+c^2x}{-2a^2+cx+ac}\qquad d_2=\frac{a}{c}\cdot\frac{\cancel{c^2x}-a^3-a^3+a^2c+acx-\cancel{c^2x}}{-2a^2+cx+ac}[/dispmath]
[dispmath]d_1=\frac{a}{c}\cdot\frac{2c^2x-a^2c-acx}{-2a^2+cx+ac}\qquad d_2=\frac{a}{c}\cdot\frac{-2a^3+a^2c+acx}{-2a^2+cx+ac}[/dispmath]
[dispmath]d_1=\frac{a}{\cancel c}\cdot\frac{\cancel c\left(2cx-a^2-ax\right)}{-2a^2+cx+ac}\qquad d_2=\frac{a}{c}\cdot\frac{a\cancel{\left(-2a^2+ac+cx\right)}}{\cancel{-2a^2+cx+ac}}[/dispmath]
[dispmath]\cancel{d_1=a\cdot\frac{2cx-a^2-ax}{-2a^2+cx+ac}}\qquad\enclose{box}{d_2=\frac{a^2}{c}}[/dispmath]
Pošto položaj direktrise ne zavisi od posmatrane tačke [inlmath]M\left(x,y\right)[/inlmath] na hiperboli, odbacujemo ono rešenje u kojem [inlmath]d[/inlmath] zavisi od [inlmath]x[/inlmath]. Usvajamo rešenje u kojem ne figuriše [inlmath]x[/inlmath], dakle, [inlmath]d=\frac{a^2}{c}[/inlmath].

P.S. Ne garantujem da ne postoji jednostavniji način, ali ja ga trenutno ne vidim. Ako neko zna jednostavnije, slobodno nek napiše.

Mala dopuna-zbog simetrije je i [inlmath]-d=-\frac{a^2}{c}[/inlmath] direktrisa te hiperbole.


Jednačine direktrisa, izražene preko ekscentriciteta glase: [inlmath]d=\frac{a}{\epsilon}[/inlmath] i [inlmath]d=-\frac{a}{\epsilon}[/inlmath]... Ovim to nećemo direktno izvesti, ali ćemo dokazati da su to zaista jednačine direktrisa...
Neka je tačka [inlmath]A(x, y)[/inlmath] tačka koja pripada datoj hiperbolii... Njeno rastojanje od fokusa označimo sa [inlmath]r_1[/inlmath] i [inlmath]r_2[/inlmath], a rastojanje od direktrisa sa [inlmath]d_1[/inlmath] i [inlmath]d_2[/inlmath].

Tada važi:
[dispmath]\frac{r_1}{d_1}=\frac{r_2}{d_2}=\epsilon[/dispmath]
Tu je [inlmath]\epsilon=\frac{c}{a}[/inlmath] ekscentricitet...

Važi: [inlmath]d_1={x}+\frac{a}{\epsilon}[/inlmath] i [inlmath]d_2={x}-\frac{a}{\epsilon}[/inlmath]

Koristeći jednačinu hiperbole, rešavanjem po jednoj od promenljvih, [inlmath]y^2=b^2\left(\frac{x^2}{a^2}-1\right)[/inlmath]...
Uvrstimo to u [inlmath]r_1=\sqrt{(x+c)^2+y^2}[/inlmath]... Pošto je [inlmath]a^2+b^2=c^2[/inlmath] to dalje svedemo na [inlmath]r_1=\sqrt{\left(\frac{xc}{a}+a\right)}^2=|\epsilon x+a|[/inlmath]

Slično se za [inlmath]r_2[/inlmath] dobija [inlmath]r_2=|x\epsilon-a|[/inlmath]...

Otuda:
[dispmath]\frac{r_1}{d_1}=\epsilon[/dispmath]
[dispmath]\frac{|\epsilon x+a|}{x+\frac{a}{\epsilon}}=\epsilon[/dispmath]
Slično:
[dispmath]\frac{|\epsilon x-a|}{x-\frac{a}{\epsilon}}=\epsilon[/dispmath]
I jedno i drugo važi s obzirom da su [inlmath]\epsilon x\pm a[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath] istog znaka...

Hvala obojici na odgovorima.

Imam jedno pitanje, doduše, verovatno neće imati previše smisla, al' me interesuje...

Prošle godine (u trećoj godini srednje škole) učili smo analitičku geometriju i tad sam prvi put video asimptote i direktrise. Ove godine smo učili lekciju "Asimptote", gde smo tražili vertikalnu, horizontalnu i kosu asimptotu pomoću limesa. Zapitao sam se u jednom trenutku da li bismo mogli da primenimo te formule na hiperbolu i elipsu, ali prof. mi je rekla da to ne može.

Da li bi neko mogao da mi objasni zbog čega je to tako? Ako već ne može, da makar znam zašto

Pitanje i te kako ima smisla, a pomoću limesa je moguće naći asimptote hiperbole (ne i elipse, pošto je elipsa zatvorena kriva, pa samim tim ne može ni imati asimptote).
Postupak za hiperbolu bi bio sledeći:
Da bismo mogli naći asimptote pomoću limesa, kao kad ispitujemo bilo koju funkciju zadatu u eksplicitnom obliku, potrebno je prvo da jednačinu hiperbole napišemo u eksplicitnom obliku:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Rightarrow\quad y=\pm b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/dispmath]
Naravno, ovo po samoj definiciji funkcije ne bi mogla biti funkcija, jer bismo za jednu vrednost [inlmath]x[/inlmath] imali dve vrednosti [inlmath]y[/inlmath] – istih apsolutnih vrednosti, a suprotnih predznaka.
[inlmath]y=-b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath] predstavlja deo hiperbole ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, a [inlmath]y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath] deo hiperbole iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose. Posmatraćemo deo iznad [inlmath]x[/inlmath]-ose (s plusom ispred korena), a dobijeni rezultat, zbog simetrije u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, možemo primeniti i na deo hiperbole ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose.
Na taj način smo izraz sveli na dve funkcije međusobno simetrične u odnosu na [inlmath]x[/inlmath]-osu, pa ispitujemo asimptote za jednu od njih (ovu gornju).

Vertikalne asimptote (prekidne tačke su [inlmath]x=\pm a[/inlmath], a između njih funkcija nije definisana zbog negativne potkorene veličine):
[dispmath]\lim_{x\to a^+}b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=0[/dispmath]
[dispmath]\lim_{x\to -a^-}b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=0[/dispmath]
Nema vertikalne asimptote.

Horizontalne asimptote:
[dispmath]\lim_{x\to -\infty}b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=+\infty[/dispmath]
[dispmath]\lim_{x\to +\infty}b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}=+\infty[/dispmath]
Nema horizontalne asimptote, znači, ispitujemo kose.

Kose asimptote:
[dispmath]k=\lim_{x\to -\infty}\frac{b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}}{x}=b\lim_{x\to -\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}}{\sqrt{x^2}\mathrm{sgn}\:x}=-b\lim_{x\to -\infty}\sqrt{\frac{1}{a^2}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^2}}}=-\frac{b}{a}[/dispmath]
[dispmath]n=\lim_{x\to -\infty}\left(b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}-kx\right)=\lim_{x\to -\infty}\left(b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{b}{a}x\right)=b\lim_{x\to -\infty}\left(\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}-\frac{\left|x\right|}{a}\right)=[/dispmath][dispmath]=b\lim_{x\to -\infty}\frac{\cancel{\frac{x^2}{a^2}}-1-\cancel{\frac{x^2}{a^2}}}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{\left|x\right|}{a}}=-b\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{\left|x\right|}{a}}=-b\lim_{x\to -\infty}\frac{1}{\left|x\right|\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{a}\right)}=0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Leva kosa asimptota: [inlmath]y=-\frac{b}{a}x[/inlmath]
[dispmath]k=\lim_{x\to +\infty}\frac{b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}}{x}=b\lim_{x\to +\infty}\sqrt{\frac{1}{a^2}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^2}}}=\frac{b}{a}[/dispmath]
[dispmath]n=\lim_{x\to +\infty}\left(b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}-kx\right)=\lim_{x\to +\infty}\left(b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}-\frac{b}{a}x\right)=b\lim_{x\to +\infty}\left(\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}-\frac{x}{a}\right)=[/dispmath][dispmath]=b\lim_{x\to +\infty}\frac{\cancel{\frac{x^2}{a^2}}-1-\cancel{\frac{x^2}{a^2}}}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{x}{a}}=-b\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}+\frac{x}{a}}=-b\lim_{x\to +\infty}\frac{1}{x\left(\sqrt{\frac{1}{a^2}-\cancelto{0}{\frac{1}{x^2}}}+\frac{1}{a}\right)}=0[/dispmath]
[inlmath]\Rightarrow[/inlmath] Desna kosa asimptota: [inlmath]y=\frac{b}{a}x[/inlmath]

Zbog simetričnosti možemo uočiti da će, zapravo, leva kosa asimptota funkcije [inlmath]y=-b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath] biti „produžetak“ desne kose asimptote funkcije [inlmath]y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath], dok će desna kosa asimptota funkcije [inlmath]y=-b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath] biti „produžetak“ leve kose asimptote funkcije [inlmath]y=b\sqrt{\frac{x^2}{a^2}-1}[/inlmath].