MATEMANIJA

Reč je o 19. zadatku na prijemnom za FON iz 2011. godine.

Prava [inlmath]p[/inlmath] sadrži žižu parabole [inlmath]y^2=4x[/inlmath] i normalna je na osu [inlmath]x[/inlmath]. Maksimalna površina pravougaonika upisanog u figuru koja je ograničena parabolom i pravom [inlmath]p[/inlmath] jednaka je?

Da li se ovo rešava pomoću površinskog integrala?

Žiža parabole je [inlmath](1,0)[/inlmath]. Jednačina prave [inlmath]p[/inlmath] je [inlmath]x=1[/inlmath].
To izgleda ovako nekako: (izvini, gruba skica, pravim na brzaka)


Neka su [inlmath]A[/inlmath] i [inlmath]B[/inlmath] tačke pravougaonika na pravi [inlmath]p[/inlmath], a [inlmath]C[/inlmath] i [inlmath]D[/inlmath] na paraboli, pri čemu su koordinate poslednje dve: [inlmath](x,y)[/inlmath] i [inlmath](x,-y)[/inlmath]. Površina upisanog pravouganika je onda:
[dispmath]P=(1-x)\cdot 2y[/dispmath]
Za [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath] važi veza [inlmath]y^2=4x[/inlmath], tj. [inlmath]x=\frac{y^2}{4}[/inlmath], pa je:
[dispmath]P=2\left(1-\frac{y^2}{4}\right)y=2y-\frac{y^3}{2}[/dispmath]
Prvi izvod bi bio:
[inlmath]P'=2-\frac{3}{2}y^2=0[/inlmath]

Odatle se dobijaju tačke gde funkcija ima lokalne ekstreme:
[inlmath]y_1=\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath] i [inlmath]y_2=-\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath]

Maksimumu odgovara [inlmath]y_1=\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath], a druga vrednost minimumu. Vraćanjem u [inlmath]P=2y-\frac{y^3}{2}[/inlmath] dobija se tražena vrednost.

Samo da ne bude zabune, ta druga vrednost koja odgovara minimumu, [inlmath]y_2=-\frac{2}{\sqrt3}[/inlmath], ne bi odgovarala minimalnoj površini, već bi se za tu vrednost dobilo da je površina negativna, pa to rešenje odbacujemo.

Dakle, nema veze s integralima, već isključivo s izvodima.

Nego, ja sam isto počeo na ovaj način, pa mi je onda palo na pamet, odakle uopšte znamo da dva temena pravougaonika moraju pripadati pravoj [inlmath]p[/inlmath]? Očigledno je da moraju, jer ne postoji način da u figuru ovog oblika upišemo pravougaonik a da mu dva susedna temena ne budu na toj pravoj, ali, treba li to i dokazati? Krenuo sam s izvođenjem dokaza, ali se račun prilično zakomplikuje, tako da se nadam da u ovom zadatku to nije potrebno dokazivati, već da je dozvoljeno uzeti to kao nešto što je intuitivno jasno.

Da, da, bio sam neprecizan, dva temena pravougaonika se nalaze na pravoj [inlmath]p[/inlmath].

Imam sličan zadatak:

Dužina kraka jednakokrakog trougla je [inlmath]5\mbox{ cm}[/inlmath], a visine koja odgovara osnovici [inlmath]3\mbox{ cm}[/inlmath]. U taj trougao upisan je pravougaonik maksimalne površine tako da jedna stranica pravougaonika pripada osnovici trougla. Obim pravougaonika je?

Da li se ovo takođe rešava preko izvoda ili postoji neka druga caka?

E, pa, zato uvek moraš napisati tačan tekst zadatka, od reči do reči.

Možeš i ovaj zadatak preko izvoda, ali i ne moraš, jer se u njemu pojavljuje obična kvadratna funkcija,
[dispmath]\left.\begin{array}{l}
y=3-\frac{3}{8}x\\
P=xy=-\frac{3}{8}x^2+3x
\end{array}\right\}\quad x,y\mbox{ – stranice upisanog pravougaonika}[/dispmath]
a ekstremnu vrednost kvadratne funkcije znaš kako da nađeš, pomoću onih formula [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a},\;y_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath].
Pošto je kod ove kvadratne funkcije, [inlmath]P=-\frac{3}{8}x^2+3x[/inlmath], koeficijent uz kvadratni član negativan, znači da će funkcija biti orijentisana temenom prema gore i kracima prema dole, tj. njena ekstremna vrednost će biti maksimum, a to je upravo ono što i tražimo.

Znači, da l' ćeš ovo raditi preko izvoda, ili preko tih formula za koordinate maksimuma – potpuno je svejedno.

Hvala na odgovoru.

Kako dolazimo do tog odnosa [inlmath]y=3-\frac{3}{8}x[/inlmath]?

Iz poznate visine i kraka, Pitagorinom teoremom, izračunamo da je polovina osnovice jednaka [inlmath]4[/inlmath].
Smestimo trougao u koordinatni sistem, tako da mu je podnožje visine (tj. središte osnovice) u koordinatnom početku:


Jednačinu njegovog desnog kraka možemo odrediti polazeći od opšte jednačine prave,
[dispmath]y=kx+n[/dispmath]
pri čemu znamo da je presek kraka sa [inlmath]y[/inlmath]-osom [inlmath]\left(0,3\right)[/inlmath], iz čega sledi da je [inlmath]n=3[/inlmath], a takođe znamo i da je presek kraka sa [inlmath]x[/inlmath]-osom [inlmath]\left(4,0\right)[/inlmath], iz čega sledi
[dispmath]0=4k+3\quad\Rightarrow\quad k=-\frac{3}{4}[/dispmath]
pa jednačina kraka glasi
[dispmath]y=3-\frac{3}{4}x[/dispmath]
Prema tome, tačka koja se nalazi na tom kraku, a čija je koordinata [inlmath]x[/inlmath], imaće [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu [inlmath]3-\frac{3}{4}x[/inlmath]. To je, dakle, veza između [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate svih tačaka na tom kraku.
E sad, ako sa [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath] označimo stranice upisanog pravougaonika, pri čemu je [inlmath]a[/inlmath] ona stranica koja leži na osnovici trougla, i posmatramo teme pravougaonika koje se nalazi na tom desnom kraku, tada će koordinate tog temena, pošto ono pripada kraku trougla, biti [inlmath]\left(x,3-\frac{3}{4}x\right)[/inlmath], a izražene u funkciji stranica pravougaonika, biće [inlmath]\left(\frac{a}{2},b\right)[/inlmath].
Odatle sledi, imajući u vidu odnos između [inlmath]x[/inlmath]- i [inlmath]y[/inlmath]-koordinate, da mora biti
[dispmath]b=3-\frac{3}{4}\cdot\frac{a}{2}[/dispmath]
tj.
[dispmath]b=3-\frac{3}{8}a[/dispmath]
To je isti onaj izraz koji sam napisao i u prethodnom postu, samo što sam tamo stranice pravougaonika označio sa [inlmath]x[/inlmath] i [inlmath]y[/inlmath], a ovde sa [inlmath]a[/inlmath] i [inlmath]b[/inlmath].

imam slican zadatak koji mi ne ide, dok spremam kolokvijum, radi se takodje o maksimalnoj povrsini jedino sto me buni pri radu ali ne mogu da odgonetnem sto je zasto se u apskolutnoj zagradi kada hocemo da [inlmath]y[/inlmath] izrazimo preko [inlmath]x[/inlmath] da bi dobili kako se povrs pravougaonika menja sa povecanjem [inlmath]x[/inlmath] i utvrdili ekstreme uzima vrednost [inlmath]-y[/inlmath] kad se oslobadjamo apsolutne vrednosti, radeci sa [inlmath]+y[/inlmath] primetio sam da se znak skroz menja tako da max funkcije postaje min i obratno, i zasto je u opste uzeta apsolutna vrednost. Moja pretpostavka je da je zbog toga sto je [inlmath]y[/inlmath] za donje tacke pravougaonika negativno, ali to je cisto laicko dokazivanje bez neceg konkretnog. unapred hvala

---

11. Odrediti pravougaonik maksimalne površine čija je jedna stranica na [inlmath]x[/inlmath]-osi, a preostala dva temena na paraboli [inlmath]y=x^2-4x+1[/inlmath].


[dispmath]x=-\frac{b}{2a}=2\\
P=2x\cdot y\\
y=\left|f\left(2+x\right)\right|\\
y=\left|4+\cancel{4x}+x^2-8-\cancel{4x}+1\right|\\
y=3-x^2\\
P=2\left(3x-x^3\right)\\
P'=2\left(3-3x^2\right)\\
P'=0\;\Rightarrow\;x^2=1\;\Rightarrow\;x=\pm 1\\[3ex]
\begin{array}{c}
& x & & -1 & & 1\\ \hline
& P' & - & 0 & + & 0 & -\\
& & \searrow & & \nearrow & & \searrow
\end{array}\\[6ex]
A\left(1,0\right),\quad B\left(3,0\right),\quad C\left(3,2\right),\quad D\left(1,2\right)[/dispmath]

Složio bih se s tvojom pretpostavkom – budući da je oblik i položaj parabole takav da joj je teme ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, jasno je i da će dva temena upisanog pravougaonika (ona dva temena koja nisu na [inlmath]x[/inlmath]-osi) biti ispod [inlmath]x[/inlmath]-ose, tj. da će im [inlmath]y[/inlmath]-koordinate biti negativne. Međutim, geometrijski gledano, i stranice pravougaonika i njegova površina mogu biti samo pozitivne. Zato smo mogli izraz za površinu da napišemo na jedan od dva načina: jedan način je, da pišemo [inlmath]P=-2x\cdot y[/inlmath], gde [inlmath]y[/inlmath] označava [inlmath]y[/inlmath]-koordinatu ta dva temena (i, samim tim, ima negativnu vrednost, pa će zbog onog minusa u izrazu za površinu površina imati pozitivnu vrednost), a drugi način je, da pišemo [inlmath]P=2x\cdot y[/inlmath], gde [inlmath]y[/inlmath] označava stranicu pravougaonika i, samim tim, ima pozitivnu vrednost. U postupku koji si priložio izraz za površinu je napisan na ovaj drugi način. E sad, pošto je [inlmath]y[/inlmath] pozitivno, računamo ga kao apsolutnu vrednost [inlmath]y[/inlmath]-koordinate ona dva temena, tj. [inlmath]y=\left|f\left(2+x\right)\right|[/inlmath], a mogli smo ga isto tako računati i kao negativnu vrednost [inlmath]y[/inlmath]-koordinate, [inlmath]y=-f\left(2+x\right)[/inlmath], budući da znamo da je [inlmath]y[/inlmath]-koordinata negativna.

To bi ti bio i odgovor na pitanje zbog čega pri oslobađanju apsolutne vrednosti uzimamo vrednost [inlmath]-y[/inlmath] – dakle, zato što znamo da je vrednost [inlmath]f\left(2+x\right)[/inlmath], tj. vrednost izraza unutar apsolutne vrednosti, negativna.

Drugo pitanje je bilo zašto bi, kada bismo pri oslobađanju apsolutne vrednosti uzeli plus, ono što je maksimum postalo minimum i obratno. Zato što bi tada vrednost funkcije promenila znak u odnosu na prethodni postupak, tj. imali bismo slučaj negativne površine (što je, naravno, u geometriji nemoguće, ali ta greška bi bila posledica pogrešno uzetog znaka pri oslobađanju apsolutne vrednosti), pa bi sada minimum površine (koja je negativna) postao, zapravo, maksimum apsolutne vrednosti te površine. Npr. ako vrednosti površine idu, lupam, [inlmath]-2,\:-2.5,\:-3,\:-2.5,\:-2[/inlmath], tada bi [inlmath]-3[/inlmath] predstavljao minimum te površine, ali, pošto površina ima smisla jedino ako je pozitivna, i ako bismo posmatrali apsolutnu vrednosti te površine, njene vrednosti bi išle [inlmath]2,\:2.5,\:3,\:2.5,\:2[/inlmath], tako da bi ovo što je minimum, tj. [inlmath]-3[/inlmath], predstavljalo maksimum, tj. [inlmath]3[/inlmath], kad gledamo apsolutnu vrednost.

I, rešenje nije dobro napisano – umesto
[dispmath]A\left(1,0\right),\quad B\left(3,0\right),\quad C\left(3,2\right),\quad D\left(1,2\right)[/dispmath]
trebalo bi
[dispmath]A\left(1,0\right),\quad B\left(3,0\right),\quad C\left(3,-2\right),\quad D\left(1,-2\right)[/dispmath]
tj. [inlmath]y[/inlmath]-koordinate donja dva temena treba da budu negativne.

Evo upravo i ja sam naletio na ovaj zadatak.Ovo sto je Milovan radio preko izvoda je dobro. Za [inlmath]y=\frac{2}{\sqrt 3}[/inlmath] funkcija ima najvecu vrijednost a to je [inlmath]\frac{8}{3\sqrt 3}[/inlmath] kao sto je jedno od ponudjenih rjesenja bilo i naravno tacno je.

Pokusavao sam raditi ovako kao Daniel da dobijem kvadratnu jednacinu i da preko extrema nadjem najvecu vrijednost. Ali nije islo. A Daniele meni ovde nista nije jasno kako si ti ovo radio kako zaokrenes ovu sliku i zamjenes [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath]. I jos mnogo toga. Po ovome tvome kada si povrsinu predstavio kao kvadratnu funkciju [inlmath]P=-\frac{3}{8}x^2+3x[/inlmath] i kada izrazim extrem tj. maximalnu vrijednost dobijem nesto sasvim deseto [inlmath]X_T=4[/inlmath] a [inlmath]Y_T=6[/inlmath]. Kako ?

Gamma je napisao:Pokusavao sam raditi ovako kao Daniel da dobijem kvadratnu jednacinu i da preko extrema nadjem najvecu vrijednost. Ali nije islo.

Ako misliš na onaj prvi zadatak, s parabolom, u njemu i ne možeš dobiti kvadratnu jednačinu, jer se dobija kubna, [inlmath]P=2y-\frac{y^3}{2}[/inlmath]. U drugom zadatku, s pravougaonikom upisanim u trougao, dobije se kvadratna jednačina, [inlmath]P=-\frac{3}{8}x^2+3x[/inlmath], pa kod njega možeš birati hoćeš li raditi preko prvog izvoda (kao i taj zadatak s parabolom), ili preko formula za teme kvadratne jednačine.

Gamma je napisao:A Daniele meni ovde nista nije jasno kako si ti ovo radio kako zaokrenes ovu sliku i zamjenes [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath].

Pročitao sam sve postove ove teme, ali nisam uspeo da pronađem ništa sa zaokretanjem slike i zamenom [inlmath]x[/inlmath] sa [inlmath]y[/inlmath], možeš li citirati taj deo?

Gamma je napisao:Po ovome tvome kada si povrsinu predstavio kao kvadratnu funkciju [inlmath]P=-\frac{3}{8}x^2+3x[/inlmath] i kada izrazim extrem tj. maximalnu vrijednost dobijem nesto sasvim deseto [inlmath]X_T=4[/inlmath] a [inlmath]Y_T=6[/inlmath]. Kako ?

Dobio si upravo ono što i treba da se dobije u tom zadatku. Jedna stranica pravogaonika maksimalne površine zaista jeste [inlmath]x=4[/inlmath], a ta maksimalna površina je [inlmath]P_{\mbox{max}}=6[/inlmath]. Možda te zbunjuje ovo [inlmath]y_T[/inlmath], to nije stranica [inlmath]y[/inlmath] pravougaonika, nego je to njegova površina, a ovde je tako obeležena jer je predstavljena kao kvadratna funkcija stranice [inlmath]x[/inlmath]. Ako te ovako zbunjuje, možeš to slobodno napisati kao [inlmath]x_T=-\frac{b}{a}[/inlmath] i [inlmath]P_T=\frac{4ac-b^2}{4a}[/inlmath]. I treba da se dobije [inlmath]x_T=4[/inlmath] i [inlmath]P_T=6[/inlmath], što bi isto dobio i kad bi radio preko prvog izvoda:
[dispmath]P'=\left(-\frac{3}{8}x^2+3x\right)'=-\frac{3}{4}x+3=0\quad\Rightarrow\quad\frac{\cancel 3}{4}x=\cancel 3\quad\Rightarrow\quad x=4[/dispmath][dispmath]x=4\quad\Rightarrow\quad P_{\mbox{max}}=-\frac{3}{8}\cdot 4^2+3\cdot 4=-6+12=6[/dispmath]
Mada maksimalnu površinu nema ni potrebe računati, jer se u tom zadatku i ne traži.

I onda, kad si našao [inlmath]x[/inlmath], nađeš i drugu stranicu [inlmath]y[/inlmath] preko već napisane formule [inlmath]y=3-\frac{3}{8}x[/inlmath], a odatle i traženi obim pravougaonika.

Izvini moja greska mislio sam da se ovo sve odnosi na prvi zadatak. Mislio sam da je ova kvadratna jednacina drugi nacin rjesavanja prvog zadataka.Mada zadaci su slicni malo pa me je to zbunilo