MATEMANIJA

Zdravo,

Našao sam način za izvođenje formula asimptota, kod hiperbole:

http://www.wikihow.com/Find-the-Equatio ... -Hyperbola

Ovo je svakako lakše upamtiti nego samu formulu, ali me zanima zbog čega se jedinica, sa desne strane formule [inlmath]\displaystyle\frac{x^2}{9}-\frac{y^2}{16}=1[/inlmath], zamenjuje nulom?

Formulu za hiperbolu možemo malo transformisati na sledeći način:
[dispmath]\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1\quad\Leftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}+1\quad\Leftrightarrow\quad\frac{1}{a^2}=\frac{y^2}{b^2x^2}+\frac{1}{x^2}[/dispmath]
Pošto asimptote hiperbole predstavljaju pravce s kojima će se kraci hiperbole u beskonačnosti poklopiti, tako i u ovom izrazu, kada pustimo da [inlmath]x[/inlmath] teži beskonačnosti, taj izraz za hiperbolu treba da postane isto što i jednačina tog pravca, tj. asimptote. Za [inlmath]x\to\pm\infty[/inlmath] sabirak [inlmath]\frac{1}{x^2}[/inlmath] teži nuli, pa njega tada izostavljamo i ostaje nam samo:
[dispmath]\frac{1}{a^2}=\frac{y^2}{b^2x^2}[/dispmath]
Ovo je, dakle, jednačina asimptote u beskonačnosti. A pošto je jednačina svakog pravca ista i u beskonačnosti i u konačnom domenu, ovo će, zapravo, biti i jednačina asimptote na celom domenu. Sredimo je sad na obrnut način od prethodnog,
[dispmath]\frac{1}{a^2}=\frac{y^2}{b^2x^2}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}=\frac{y^2}{b^2}\quad\Leftrightarrow\quad\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=0[/dispmath]