MATEMANIJA

Date su prave
[dispmath]p:\quad\frac{x-3}{m}=\frac{y-3}{1}=\frac{z-1}{2}[/dispmath]
[dispmath]q:\quad\frac{x-3}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{m}[/dispmath]
Naci [inlmath]m[/inlmath] tako da se te dve prave seku. Da li te prave mogu biti paralelne?

Kad su ti date dve prave,
[dispmath]p:\quad\frac{x-x_1}{p_x}=\frac{y-y_1}{p_y}=\frac{z-z_1}{p_z}[/dispmath]
[dispmath]q:\quad\frac{x-x_2}{q_x}=\frac{y-y_2}{q_y}=\frac{z-z_2}{q_z}[/dispmath]
tada je uslov njihovog preseka taj, da mešovit proizvod vektora [inlmath]\vec{M_1M_2}[/inlmath] (gde je [inlmath]M_1\left(x_1,y_1,z_1\right)[/inlmath] i [inlmath]M_2\left(x_2,y_2,z_2\right)[/inlmath]) i vektora [inlmath]\vec p\left<p_x,p_y,p_z\right>[/inlmath] i [inlmath]\vec q\left<q_x,q_y,q_z\right>[/inlmath] bude [inlmath]0[/inlmath] (jer su tada ova tri vektora komplanarna, tj. pripadaju istoj ravni).
Znači,
[dispmath]\left|\begin{matrix}
x_2-x_1 & y_2-y_1 & z_2-z_1\\
p_x & p_y & p_z\\
q_x & q_y & q_z
\end{matrix}\right|=0[/dispmath]
Sad samo zameniš konkretne vrednosti, dobiješ neku kvadratnu jednačinu po [inlmath]m[/inlmath] i odatle nađeš [inlmath]m[/inlmath].

Potreban uslov da se prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]q[/inlmath] seku je i to da se ne poklapaju i da nisu međusobno paralelne, a to znači da vektori [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] ne smeju biti kolinearni (tj. da ne postoji [inlmath]a\in\mathbb{R}[/inlmath] takvo da je [inlmath]\left<p_x,p_y,p_z\right>=a\left<q_x,q_y,q_z\right>[/inlmath]), tako da i to treba ispitati.