MATEMANIJA

Odredite [inlmath]n[/inlmath] tako da [inlmath]y+x+n=0[/inlmath] predstavlja tangentu elipse [inlmath]2x^2+3y^2=30[/inlmath] .

u zbirci ne postoji nikakvi uslovi dodira to sam nasao na ovom forumu ,nemaju ni formule tangente.Ne znam kako da upotrebim formulu tangente za elipsu, jer mi treba tacka jedna sa elipse prepotsavljam,i kako tu figurise uslov dodira.

Evo koja meni ideja pada na pamet.

Ako bismo jednačinu prave [inlmath]y+x+n=0[/inlmath] uvrstili u jednačinu elipse, dobili bismo kvadratnu jednačinu.
[dispmath]y+x+n=0\;\Longrightarrow\;\enclose{box}{y=-x-n}[/dispmath]
[dispmath]2x^2+3(-x-n)^2=30\\
2x^2+3\left(x^2+2xn+n^2\right)=30\\
2x^2+3x^2+6xn+3n^2=30\\
\enclose{box}{5x^2+6xn+3n^2-30=0}[/dispmath]
E, sad, zbog čega nam je značajna ova jednačina? Pa ako se setimo onog uslova [inlmath]D=0[/inlmath], kada je kvadratna funkcija imala samo jednu dodirnu tačku sa [inlmath]x[/inlmath] osom, možemo zaključiti i da ovde važi isti uslov, jer naša prava je tangenta ako ima jednu dodirnu tačku sa našom elipsom.
[dispmath]D=(6n)^2-4\cdot 5\cdot\left(3n^2-30\right)=0\\
36n^2-60n^2+600=0\\
-24n^2+600=0\hspace{0.5cm}/:-24\\
n^2-25=0[/dispmath]
[dispmath]n_1=5,\;n_2=-5[/dispmath]
Ovo znači da imamo dve tangente:
[dispmath]y+x+5=0\\
y+x-5=0[/dispmath]

Ili, pošto se jednačina elipse ovde može zapisati kao [inlmath]\frac{x^2}{15}+\frac{y^2}{10}=1[/inlmath], a kako je koeficijent [inlmath]k=-1[/inlmath], može se iskoristiti uslov:
[dispmath]a^2k^2+b^2=n^2=(-n)^2[/dispmath]
Pa je odatle [inlmath]n^2=15(-1)^2+10=25[/inlmath], i odatle sledi [inlmath]n=\pm 5[/inlmath].

Odd one out, sad možeš da biraš na koji ćeš način rešavati ove zadatke.

Ako ti se više sviđa da naučiš formulu za uslov dodira, koju je pomenuo Milovan, [inlmath]a^2k^2+b^2=n^2[/inlmath], brže ćeš dolaziti do rešenja. Ali ako budeš imao problema sa pamćenjem ove formule (kao ja ), možeš proučiti ovaj moj duži postupak.
U ovoj temi imaš objašnjeno kako logički da dođeš do svih uslova dodira u analitičkoj geometriji.

hvala