MATEMANIJA

Neka su [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] jedinični vektori, takvi da je [inlmath]\angle\left(\vec{AB},\vec{AD}\right)=\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Neka su [inlmath]\vec p=\vec{AC}[/inlmath] i [inlmath]\vec q=\vec{DB}[/inlmath] vektori dijagonala paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath] konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{AD}[/inlmath]. Odrediti površinu paralelograma konstruisanog nad vektorima [inlmath]\vec a=2\vec p-3\vec q[/inlmath] i [inlmath]\vec b=\vec p+\vec q[/inlmath].

Evo ovako, povrsina paralelograma odredjuje se kao vektorski proizvod vektora [inlmath]\vec a[/inlmath] i [inlmath]\vec b[/inlmath]. Pa sam ja to i uradila, i dobila sam [inlmath]5\left|\vec p\times \vec q\right|[/inlmath], i onda ne znam kako odrediti sinus ugla između vektora [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)[/inlmath].

I da, pošto je riječ o jediničnim vektorima dobila sam da mi je [inlmath]\left|\vec p\right|=\left|\vec q\right|=2[/inlmath]

indira-aa je napisao:i onda ne znam kako odrediti sinus ugla između vektora [inlmath]\angle\left(\vec p,\vec q\right)[/inlmath].

Pošto su [inlmath]\vec{AB}[/inlmath] i [inlmath]\vec{AD}[/inlmath] jedinični vektori, paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath] je romb stranice [inlmath]1[/inlmath]. A pošto je romb, njegove dijagonale se seku pod pravim uglom. Prema tome, vektori [inlmath]\vec p[/inlmath] i [inlmath]\vec q[/inlmath] će, kao vektori dijagonala tog romba, biti pod pravim uglom jedan u odnosu na drugi.

indira-aa je napisao:I da, pošto je riječ o jediničnim vektorima dobila sam da mi je [inlmath]\left|\vec p\right|=\left|\vec q\right|=2[/inlmath]

Odmah možeš videti da ovo ne može biti tačno. Jer, kada bi bilo tačno, to bi značilo da je [inlmath]\left|\vec{AC}\right|=\left|\vec{DB}\right|[/inlmath], tj. da su dijagonale paralelograma [inlmath]ABCD[/inlmath] međusobno jednake. A to bi, opet, značilo da je paralelogram [inlmath]ABCD[/inlmath] – pravougaonik. Ali, ne može biti pravougaonik, jer je u tekstu zadato da je [inlmath]\angle\left(\vec{AB},\vec{AD}\right)=\frac{\pi}{6}[/inlmath]. Kontradikcija.

Pa moze li onda neke upute kako da uradim ovaj zadatak, hvala puno

Dobro si našla vektorski proizvod, ostaje da odrediš intenzitet od [inlmath]\vec a\times\vec b[/inlmath]. Za to ti treba intenzitet [inlmath]\vec{p}[/inlmath] i [inlmath]\vec{q}[/inlmath], kao i sinus ugla između njih (taj ugao je prav, pa je sinus tog ugla [inlmath]1[/inlmath]). Ostaje da nađeš intenzitete vektora [inlmath]\vec{p}[/inlmath] i [inlmath]\vec{q}[/inlmath].

Ta dva intenziteta su u stvari dužine dijagonala romba stranice [inlmath]1[/inlmath], sa oštrim uglom od [inlmath]30^\circ[/inlmath]. Dijagonale možeš naći preko kosinusne teoreme.
[dispmath]d_1^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos 30^\circ[/dispmath][dispmath]d_2^2=1^2+1^2-2\cdot 1\cdot 1\cdot\cos 150^\circ[/dispmath]