MATEMANIJA

zdatak glasi, pod kojim uglom se seku prava [inlmath]p:\;y=2x-10[/inlmath] i [inlmath]4x^2+9y^2=900[/inlmath], sad ja pretpostavljam da je to u stvari ugao koji prave ta prava [inlmath]p[/inlmath] koja sece tu elipsu, i tangenta koja prolazi kroz tacku koju prave prava [inlmath]p[/inlmath] i elipsa, ali ne umem doci do ugla, mislio sam da dodjem do [inlmath]k[/inlmath] prave [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]k[/inlmath] tangenti, i onda preko dva trougla koje grade tangente, prava [inlmath]p[/inlmath] i [inlmath]x[/inlmath]-osa da izracunam, ali sam odustao i ne kapiram da li da ugao koji prave prave sa [inlmath]x[/inlmath]-osom gledamsa desna na levo ili kako

Ako si našao tu tangentu i treba ti formula za ugao, ona glasi ovako:
[dispmath]\mathrm{tg}\:\varphi=\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}[/dispmath]
Probao sam da uradim zadatak, ali nisam daleko dogurao... evo dokle sam stigao, ako je od pomoći. Dokle si ti stigao?

---

[dispmath]4x^2+9y^2=900\;\Longrightarrow\;\frac{x^2}{225}+\frac{y^2}{100}=1\\
y=2x-10[/dispmath]
Uvrstimo jednačinu prave u jednačinu elipse:
[dispmath]4x^2+9(2x-10)^2=900\\
4x^2+9\left(4x^2-40x+100\right)-900=0\\
4x^2+36x^2-360x+\cancel{900}-\cancel{900}=0\\
40x^2-360x=0\;/:40\\
x^2-9x=0\\[2em]
x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{9\pm 9}{2}\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}x_1=9,\:x_2=0[/dispmath]
Dakle imamo ove tačke u kojima se seku:
[dispmath]y_1=8\\
y_2=-10\\[2em]
(9,8)\land(0,-10)[/dispmath]

Sada izračunate vrednost prvog izvoda elipse u tim tačkama ([inlmath]f'(9)=?[/inlmath] i [inlmath]f'(0)=?[/inlmath]). Obratite pažnju na znak pri određivanju izvoda. Kada znate vrednost izvoda, znaćete i nagib tangente... (ako ne propuštam nešto)

Zanimljivo, probaću da odradim.


Bojim se da pravim fatalnu grešku, al' isprav'te me.

Kako bismo predstavili [inlmath]f(x)[/inlmath]? Prebacimo sve na desnu, a [inlmath]y[/inlmath] na levu stranu?
[dispmath]y^2=\frac{900-4x^2}{2}\\
y^2=450-2x^2\\
f(x)=\pm\sqrt{450-2x^2}[/dispmath]
Iz ovoga ide izvod?

Mislio sam da ti je tako nešto poznato. Uglavnom, evo u čemu je fora. "Funkcija" [inlmath]f(x)=\pm\sqrt{450-2x^2}[/inlmath] ne može biti funkcija, zato što za istu vrednost [inlmath]x[/inlmath], dobija dve različite vrednosti (jednu pozitivnu i jednu negativnu). Zato je moramo razbiti u dve funkcije. Funkcija [inlmath]f(x)=\sqrt{450-2x^2}[/inlmath] opisuje gornju polovinu elipse (iznad [inlmath]y[/inlmath] ose), dok [inlmath]f(x)=-\sqrt{450-2x^2}[/inlmath] predstavlja donju polovinu elipse. U zavisnosti od toga gde se tačke preseka nalaze, uzimaćeš različiti predznak. Npr. pošto je [inlmath](0,-8)[/inlmath] ispod ose diferenciraćeš [inlmath]f(x)=-\sqrt{450-2x^2}[/inlmath] (kao i svaku drugu funkciju što bi diferencirao) i ubaciti vrednost [inlmath]0[/inlmath] za [inlmath]x[/inlmath].

EDIT: Sad vidim da nisi dobro izrazio [inlmath]f[/inlmath]. Trebalo bi:
[dispmath]f(x)=\sqrt{\frac{900-4x^2}{9}}[/dispmath]

stevan95 je napisao:[dispmath]x^2-9x=0\\[2em]
x_{1,2}=\frac{9\pm\sqrt{81}}{2}=\frac{9\pm 9}{2}\phantom{33}\Longrightarrow\phantom{33}x_1=9,\:x_2=0[/dispmath]

Kod ovakvih kvadratnih jednačina bez slobodnog člana, zaista nema potrebe raditi po formuli za kvadratnu jednačinu. Jednostavnije je izvući [inlmath]x[/inlmath]:
[dispmath]x\left(x-9\right)=0[/dispmath]
i rešenja su više nego očigledna.

---

Evo još jednog načina rešavanja (što ne znači i jednostavnijeg). Presečne tačke prave i elipse odredili smo na način koji je stevan95 pokazao, to su [inlmath]M_1\left(9,8\right)[/inlmath] i [inlmath]M_2\left(0,-10\right)[/inlmath]. Sada tražimo tangente na elipsu u tim tačkama, tj. tražimo takve prave koje sadrže tačku [inlmath]M_1[/inlmath], odnosno tačku [inlmath]M_2[/inlmath] i kojima je to jedina zajednička tačka s elipsom. Napišemo prvo jednačinu tangente u najopštijem obliku, kao jednačinu bilo koje prave,
[dispmath]y=kx+n[/dispmath]
zatim uvrstimo koordinate svake od te dve tačke. Prvo za tačku [inlmath]M_1\left(9,8\right)[/inlmath],
[dispmath]8=9k+n\quad\Rightarrow\quad n=8-9k\quad\Rightarrow\quad y=kx-9k+8\quad\Rightarrow\quad\underline{y=k\left(x-9\right)+8}[/dispmath]
Pošto ta prava s elipsom treba da ima samo jednu zajedničku tačku, posle uvrštavanja ove jednačine u jednačinu elipse treba da dobijemo takvu kvadratnu jednačinu koja će imati jedno dvostruko rešenje, što znači da diskriminantu te kvadratne jednačine treba da izjednačimo s nulom. Dakle,
[dispmath]4x^2+9y^2=900[/dispmath][dispmath]4x^2+9\left[k\left(x-9\right)+8\right]^2=900[/dispmath][dispmath]4x^2+9\left[k^2\left(x-9\right)^2+16k\left(x-9\right)+64\right]=900[/dispmath][dispmath]4x^2+9k^2\left(x^2-18x+9^2\right)+9\cdot 16k\left(x-9\right)+9\cdot 64=900[/dispmath][dispmath]\left(9k^2+4\right)x^2+\left(9\cdot 16k-9\cdot 18k^2\right)x+9^3k^2-9^2\cdot 16k+9\cdot 64-900=0[/dispmath][dispmath]\left(9k^2+4\right)x^2+9\cdot 2k\left(8-9k\right)x+9\left(9^2k^2-9\cdot 16k-36\right)=0[/dispmath][dispmath]\left(9k^2+4\right)x^2+9\cdot 2k\left(8-9k\right)x+9^2\left(9k^2-16k-4\right)=0[/dispmath]
i onda izjednačavamo diskriminantu s nulom:
[dispmath]D=9^2\cdot 4k^2\left(8-9k\right)^2-4\left(9k^2+4\right)\cdot 9^2\left(9k^2-16k-4\right)=0\quad /:\left(9^2\cdot 4\right)[/dispmath][dispmath]k^2\left(8-9k\right)^2-\left(9k^2+4\right)\left(9k^2-16k-4\right)=0[/dispmath][dispmath]64k^2-\cancel{9\cdot 16k^3}+\cancel{81k^4}-\cancel{81k^4}+\cancel{9\cdot 16k^3}+4\cdot 16k+16=0\quad /:16[/dispmath][dispmath]4k^2+4k+1=0[/dispmath][dispmath]\left(2k+1\right)^2=0[/dispmath][dispmath]k=-\frac{1}{2}[/dispmath]
Uvrstimo to u [inlmath]y=k\left(x-9\right)+8[/inlmath]:
[dispmath]y=-\frac{1}{2}\left(x-9\right)+8[/dispmath][dispmath]y=-\frac{x}{2}+\frac{9}{2}+8[/dispmath][dispmath]\enclose{box}{y=-\frac{x}{2}+\frac{25}{2}}[/dispmath]
Sličan postupak i za drugu tangentu, kroz tačku [inlmath]M_2\left(0,-10\right)[/inlmath]...

da, slazem se sa danielom ja sam uspeo na kraju i sam da uradim na taj nacin, po meni je i najjednostavniji