MATEMANIJA

Geometrijsko mesto tacaka [inlmath](x,y)[/inlmath] temena parabole [inlmath]y=x^2+k\cdot x+k+1[/inlmath] odredjeno je sa: (U ponudjenim resenjima su dati izrazi [inlmath]y[/inlmath] u zavisnosti [inlmath]x[/inlmath])

Zbunjuje me zadatak, jer parabola ima samo jedno teme (bar ja samo za tu parabolu znam),a to je koordinatni pocetak.

Tačno, jedna parabola ima jedno teme- ali ovde nije data tačna jednačina parabole, već imaš parametar [inlmath]k[/inlmath] koji za razne vrednosti daje drugi položaj parabole. Pri tom, parabola u opštem slučaju uopšte ne mora da prolazi kroz koordinatni početak kako navodiš- primera radi, [inlmath]y=(x-2)^2[/inlmath] ne prolazi kroz koordinatni početak.

U zavisnosti od parameta [inlmath]k[/inlmath] možeš naći [inlmath]x_T[/inlmath] i [inlmath]y_T[/inlmath], tj. koordinate temena parabole, prema standardnim formulama: [inlmath]x_T=-\frac{b}{2a}[/inlmath] i [inlmath]y_T=\frac{-b^2+4ac}{4a}[/inlmath].

Tako ćeš dobiti [inlmath]x_T(k)[/inlmath] i [inlmath]y_T(k)[/inlmath]. Ostaje da eliminišeš [inlmath]k[/inlmath] iz te dve jednačine i dobićeš zavisnost [inlmath]y_T(x_T)[/inlmath] koja se zapravo i traži.

I, kad uradiš sve prema Milovanovom uputstvu, treba kao rezultat da dobiješ [inlmath]y_T=-x_T^2-2x_T+1[/inlmath], znači, geometrijsko mesto temena ove parabole je – nova parabola.

A evo ti i objašnjenje kroz animaciju kako se data parabola menja s promenom parametra [inlmath]k[/inlmath], a možeš videti i kako kroz ove promene teme date parabole „crta“ tu novu parabolu:

Kako mogu da eliminišem [inlmath]k[/inlmath]?

Mislim da je sve vrlo jasno, ali pomoći ću i ja Ako ti je data jednačina parabole [inlmath]y=x^2+k\cdot x+k+1[/inlmath], onda su koordinate temena:
[dispmath]x=-\frac{b}{2a}=-\frac{k}{2}\;\land\;y=\frac{4ac-b^2}{4a}=\frac{4k+4-k^2}{4}[/dispmath] Ostaje izraziti iz prve jednačine [inlmath]k[/inlmath], čime se dobija [inlmath]k=-2x[/inlmath], što ćemo uvrstiti u izraz kojim je određena koordinata [inlmath]y[/inlmath].
[dispmath]y=\frac{4\cdot(-2x)+4-(-2x)^2}{4}=\frac{-8x+4-4x^2}{4}=\frac{-\cancel4\cdot\left(2x-1+x^2\right)}{\cancel4}=1-2x-x^2[/dispmath]

Shvatila sam u međuvremenu, ali hvala puno ❤️